Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp tối ưu nhất dùng để giải bài toán tích phân lượng giác.

Tích phân hàm lượng giác tổng quát có dạng:

$\displaystyle I=\int_{a}^{b} F(\sin x, \cos x) d x$
Tùy thuộc vào tính chất và dạng đặc biệt của hàm $F(\sin x, \cos x)$ hoăc mối quan hệ giữa hàm $F(\sin x, \cos x)$ với các cận lấy tích phân mà chúng ta sử dụng phép biến đổi tương đương.

DẠNG 1. $ F(\sin x,\cos x)=F(-\sin x,-\cos x)$ ($ F\text{ }$ là hàm số chẵn theo $ \sin x$ và $ \cos x$)

Cách giải: Đặt $t=\tan x$ hoăc $t=\cot x$

Ví dụ 1. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{{{{\sin }}^{3}}x-\sin x}}}}{{{{{\sin }}^{3}}x}}}}\cot xdx$

Giải:

Rõ ràng $F=\frac{\sqrt[3]{\sin ^{3} x-\sin x}}{\sin ^{3} x} \cot x=\frac{\sqrt[3]{(-\sin x)^{3}-(-\sin x)}}{(-\sin x)^{3}} \cdot \frac{-\cos x}{-\sin x}$ nên nó là hàm số chẵn theo $ \sin x$ và $ \cos x$.

Ta có:

$\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{1-\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{1-\left( {1+{{{\cot }}^{2}}x} \right)}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=-\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{{{{\cot }}^{2}}x}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx$

Đặt $t=\cot x \Rightarrow d t=-\frac{1}{\sin ^{2} x} d x$

Khi $x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow t=\sqrt{3} ; x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Từ đó

$\displaystyle I=\int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} t^{\frac{1}{3}} \cdot t d t=\int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} t^{\frac{5}{3}} d t=\sqrt{\frac{1}{8}\left(9 \sqrt[3]{3}-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)}$

DẠNG 2. $ F(\sin x,\cos x)=-F(\sin x,-\cos x)$ ($ F$ là hàm số lẻ theo $ \cos x$)

Cách giải: Đặt $t=\sin x$

Ví dụ 2. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}} d x$

Giải:

Ta thấy $F=\frac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}}=\frac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=-\frac{2 \sin x(-\cos x)}{(2+\sin x)^{2}}$ nên $F$ là hàm số lẻ theo $\cos x$
Ta có

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}} d x$

Đặt $t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x$

Khi $x=0 \Rightarrow t=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$

Từ đó:

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{t}{(2+t)^{2}} d t=2\left(\int_{0}^{1} \frac{1}{2+t} d t-\int_{0}^{1} \frac{1}{(2+t)^{2}} d t\right)=2\left(\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)$

DẠNG 3. $ F(\sin x,\cos x)=-F(-\sin x,\cos x)$ ($ F$ là hàm số lẻ theo $ \sin x$)

Cách giải: Đặt $t=\cos x$

Ví dụ 3. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x} d x$

Giải:

Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

DẠNG 4. $F(\sin x, \cos x)=\frac{a_{1} \sin x+b_{1} \cos x+c_{1}}{a_{2} \sin x+b_{2} \cos x+c_{2}}$

Cách giải: Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$

Ví dụ 4. Tính tích phân $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{4 \sin x+3 \cos x+5}$

Giải:

Đặt $t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} ; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.$

Khi $x=0 \Rightarrow t=1 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$

Ta có

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{8 t}{1+t^{2}}+3 \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+5} \cdot \frac{2 d t}{1+t^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{d t}{t^{2}+4 t+4}=\int_{0}^{1} \frac{d(t+2)}{(t+2)^{2}}=\frac{1}{6}$

Một số bài toán tích tích phân lượng giác có lời giải

Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ-1

Bài tập tích phân lượng giác tự giải

Tính các tích phân lượng giác sau:

1. $\displaystyle I=\int_{0}^{{\frac{\pi }{4}}}{{{{{\tan }}^{6}}}}xdx$

2. $\displaystyle I=\int_{0}^{{\frac{\pi }{2}}}{{\frac{{\sin x+7\cos x+6}}{{4\sin x+3\cos x+5}}}}dx$

3. $\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{1}{{\sqrt[4]{{{{{\sin }}^{3}}x\cdot {{{\cos }}^{5}}x}}}}}}dx$

4. $\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{2}}}{{\frac{{{{{\cos }}^{3}}x+{{{\cos }}^{5}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x+{{{\sin }}^{4}}x}}}}dx$

5. $\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{4}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x\cdot {{{\cos }}^{4}}x}}}}dx$

Toán lớp 12 - Tags: , , ,