Cách tính nhanh dãy phân số có quy luật – Toán nâng cao tiểu học
Hướng dẫn học sinh lớp 4, 5 cách tính nhanh dãy phân số có quy luật, một dạng toán nâng cao trong chương trình toán tiểu học.
Dạng toán tính nhanh phân số là một trong những dạng toán khó, thường là câu cuối phân loại học sinh khá giỏi, thường có trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh cấp 1.
Muốn giải được các bài toán tính nhanh dãy phân số có quy luật học sinh phải biết quan sát, phân tích, ghi nhớ các dạng toán mà Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ dưới đây.
1. Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước 1 số không đổi
1.1 Kiến thức ghi nhớ
Quy luật mẫu số là dãy số tăng theo cấp số nhân
Đây là dạng toán liên quan đến tính tổng của 1 loạt các phân số mà mẫu số phân số sau gấp mẫu số phân số trước cùng 1 số lần.
1.2 Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính giá trị
Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số ngay trước là 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.
Ví dụ:
Giải:
Ta có:
Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận xét thấy ở A và 2xA có rất nhiều phân số giống nhau, chỉ khác nhau phân số đầu tiên và phân số cuối cùng. Nếu ta trừ 2 vế cho nhau thì được:
Bài 2:Tính
Giải: Ta có:
⇒
Trừ hai vế ta có:
⇒
⇒
Chú ý: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần, khi đó ta nhân thêm 3 để rồi trừ hai vế nhằm triệt tiêu các phân số ở giữa. Cần chú ý lúc này hiệu hai vế sẽ là 3 x A – A = 2 x A. Vì thế chúng ta cần chia cho 2 để tìm ra kết quả A. Học sinh thường ẩu và khi nháp không cẩn thận phần này nên quên chia 2 dẫn đến đáp số không đúng.
Bài 3: Tính giá trị:
Ta thấy mẫu số của phân số sau của A gấp 2 lần mẫu số của phân số trước của A.
Ta có:
⇒
Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau:
Phân tích và Giải: Ở bài này chúng ta quan sát tử số và mẫu số, ta thấy tử số đều hơn mẫu số 1 đơn vị.
Ta nhận xét thấy:
Vậy ta có:
Vì số
Đến đây, ta đã đưa được về bài toán cơ bản:
Ta có:
⇒
Vậy
1.3 Bài tập tự giải:
Bài 5: Tính giá trị:
Bài 6: Tính giá trị:
Bài 7: Tính giá trị:
Bài 8: Tính giá trị:
Bài 9: Tính giá trị biểu thức:
Bài 10: Tính giá trị biểu thức sau:
Gợi ý: Tách thành tổng 2 dãy phân số có quy luật
Bài 11: Tính giá trị biểu thức sau:
Gợi ý: Gợi ý cho bài này là hãy suy nghĩ và quan sát đề bài thật kỹ
Bài 12: Tính giá trị biểu thức sau:
Gợi ý: Hãy nhân S x 2 rồi cộng hai vế.
Bài 13(*): Tính giá trị biểu thức:
Bài 14(*): Tính giá trị biểu thức:
Bài 15: Tính giá trị biểu thức sau:
2. Dãy phân số có quy luật triệt tiêu lẫn nhau
2.1 Kiến thức ghi nhớ
Đây là dạng toán yêu cầu tính tổng một dãy các phân số có quy luật, mà quy luật ở mẫu số là tích các thừa số. Ở dạng toán này, chúng ta cần phân tích mẫu số thành các thừa số có quy luật nhất định, nhận xét được mối liên quan giữa tổng, hoặc hiệu các thừa số ở mẫu số và tử số.
Bước 1: Phát hiện quy luật của mẫu số, tử số (thường sẽ là tích của các thừa số được lặp lại).
– Nếu đề bài chưa cho tích, ta hãy phân tích mẫu thành các tích
– Nếu phân tích rồi mà chưa được, ta hãy nhân thêm 1 số nào đó để phân tích được thành có quy luật.
– Mẫu số của phân số này gấp bao nhiên lần của phân số trước?
Bước 2: Nhận xét các thừa số ở mẫu.
– Hiệu các thừa số ở mẫu không thay đổi => dùng biến đổi:
– Tổng các thừa số ở mẫu số bằng tử số => dùng biến đổi:
– Nếu mẫu số sau gấp mẫu số trước 1 số lần => ta làm bằng cách nhân thêm đúng số lần đó…
– Nếu mẫu số hơn (kém) tử số cùng 1 số thì nghĩ đến chuyện lấy phần bù. Ví dụ:
2.2 Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính giá trị của
Phân tích: Đây là bài khá cơ bản. Ta thấy các thừa số ở mẫu số có quy luật là
Hơn nữa 2 – 1 = 1, 3 – 2 = 1, …như vậy hiệu hai thừa số ở mẫu số của mỗi phân số đều bằng nhau. Hơn
nữa ta thấy các phân số ở đây đều có sự “liên kết”:
Ta có:
…
đó ta có:
Bài 2: Tính giá trị của
Phân tích: Ở bài này ta thấy mẫu số là các tích có khoảng cách các thừa số là 2 như 3 – 1 = 2; 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2…
Nhận thấy:
…
Từ đó ta có:
Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau:
Phân tích: Ở bài này ta thấy các mẫu số đều có các thừa số có hiệu bằng 3. Tuy nhiên tử số mỗi phân số là 1. Vì thế, ta sẽ làm xuất hiện tử số chính là hiệu hai thừa số ở mẫu số ⇒ ta nhân thêm 3.
Ta có:
*Chú ý: Cần nhớ rằng ta đã nhân thêm 3 để xuất hiện dạng tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số để sau đó tách
Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau:
Phân tích: Bài này chưa cho mẫu số dưới dạng tích các thừa số, ta thử nghĩ đến việc tách mẫu số thành tích xem các thừa số ở mẫu số có quy luật hay không.
Ta thấy:
Như vậy mẫu số đã được đưa về dạng “quen thuộc” như các bài ở trên.
Ta có:
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau:
Phân tích: Ta thử tách mẫu số:
Ta thử nhân thêm để xuất hiện quy luật:
Ta có:
⇒ ta có quy luật quen thuộc.
Giải : Ta có
⇒
⇒
Bài 6: Tính
Phân tích: Ở bài này ta thấy các phân số đều có tử số khác 1, mẫu số đã tách thành tích các thừa số “liên kết” nhau, tuy nhiên hiệu hai thừa số ở mẫu số không bằng tử số. Ta nhận xét thấy tổng hai thừa số ở mẫu số đều gấp 2 lần tử số. Do đó ta nghĩ đến việc nhân thêm 2 để đưa về dạng tổng thừa số ở mẫu số bằng tử số
Giải:
2.3 Bài tập tự giải
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức:
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
Bài 10: Tính giá trị
Bài 11: Tính giá trị
Bài 12: Tính
Bài 13: Tính
Bài 14: Tính
Bài 15: (Đề thi Toán Châu Á Thái Bình Dương APMOPS 2013)
Tính
Bài 16(*): Tính
Bài 17(*): Tính giá trị
Bài 18: Tính
Bài 19(*): Tính giá trị:
Bài 20: Tính giá trị
Bài 21(*): Tính giá trị:
Bài 22(**): Tính giá trị:
Đề thi thử vào lớp 6 môn Toán chuyên hình thức trắc nghiệm
5 loại câu hỏi tiếng Anh phổ biến khi bắt đầu cuộc nói chuyện
Cấu trúc câu mong ước trong tiếng Anh
13 quy tắc trọng âm tiếng Anh
84 cấu trúc câu thông dụng trong tiếng Anh
Một số bài tập tính giá trị biểu thức thi HSG Toán lớp 5 có lời giải
Phiếu bài tập ở nhà tiếng Anh lớp 4 nghỉ dịch Corona ngày 21/04