Cách tính nguyên hàm của đa thức
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một đa thức thông qua các ví dụ có lời giải.
Để tính được nguyên hàm của của một hàm số là đa thức chúng ta cần áp dụng các công thức trong bảng nguyên hàm dưới đây:
$\displaystyle\int x^{\alpha} d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$
$\displaystyle\int 0 d x=C ; \int d x=\int 1 . d x=x+C$
$\displaystyle\int k x^{\alpha} d x=\frac{k}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$
Trong đó, k là hằng số.
$\displaystyle\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$
Ví dụ tính nguyên hàm của đa thức
Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=\text{ }{{x}^{2}}~-\text{ }2x\text{ }+\text{ }{{x}^{{-2}}}$ là
A. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2+\frac{1}{x}+C$
B. $\displaystyle F(x)=2x+\frac{2}{x}+C$
C. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}-\frac{1}{x}+C .$
D. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+x+C$
Giải:
$\int f(x) d x=\int\left(x^{2}-2 x+x^{-2}\right) d x=\int x^{2} d x-2 \int x \mathrm{d} x+\int x^{-2} d x=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-\frac{1}{x}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số: $f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}$
A. $\displaystyle g(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{4}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}$
B. $\displaystyle h(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+x$
C. $\displaystyle k(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{x}$
D. $\displaystyle u(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}$
Giải:
Ta có:
$\displaystyle \int{f}(x)dx=\int{{\left( {4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\frac{2}{{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}dx$
$\displaystyle =4\int{{{{x}^{3}}}}dx+3\int{{{{x}^{2}}}}dx+2\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx-\int{{{{x}^{{-3}}}}}dx$
$\displaystyle =4\cdot \frac{{{{x}^{4}}}}{4}+3\cdot \frac{{{{x}^{3}}}}{3}+2\cdot \frac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}-\frac{{{{x}^{{-2}}}}}{{-2}}+C$
$\displaystyle ={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}+C$
⇒ Chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Nguyên hàm F(x) của hàm số $\displaystyle f(x)=\frac{{2{{x}^{4}}+3}}{{{{x}^{2}}}}\quad (x\ne 0)$ là
A. $\displaystyle F(x)=\frac{{2{{x}^{3}}}}{3}-\frac{3}{x}+C$
B. $\displaystyle F(x)=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}-\frac{3}{x}+C$
C. $\displaystyle F(x)=-3{{x}^{3}}-\frac{3}{x}+C$
D. $\displaystyle F(x)=\frac{{2{{x}^{3}}}}{3}+\frac{3}{x}+C$
Giải:
$\displaystyle\begin{aligned} I &=\int\left(\frac{2 x^{4}+3}{x^{2}}\right) d x=2 \int x^{2} d x+3 \int \frac{1}{x^{2}} d x \\ &=\int\left(2 x^{2}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x=\frac{2 x^{3}}{3}-\frac{3}{x}+C \end{aligned}$
⇒ Chọn đáp án A.
Ví dụ 4. Nguyên hàm F(x) của hàm số $\displaystyle f(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)^{2} \quad(x \neq 0)$ là
A. $\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+2 x+C$
B. $\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{x}+2 x+C$
C. $\displaystyle F(x)=\frac{\frac{x^{3}}{3}+x}{\frac{x^{2}}{2}}+C$
D. $\displaystyle F(x)=\left(\frac{\frac{x^{3}}{3}+x}{\frac{x^{2}}{2}}\right)^{3}+C$
Giải:
$\displaystyle \begin{array}{l}\int{f}(x)dx=\int{{{{{\left( {\frac{{{{x}^{2}}+1}}{x}} \right)}}^{2}}}}dx=\int{{{{{\left( {x+\frac{1}{x}} \right)}}^{2}}}}dx\\=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}dx=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+{{x}^{{-2}}}} \right)}}dx\\=\int{{{{x}^{2}}}}dx+\int{2}dx+\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx\\=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}+2x+\frac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}+C=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}-\frac{1}{x}+2x+C\end{array}$
⇒ Chọn đáp án A.
Vi du 5. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = 2x + 1$ và $f(1) = 5$
A. $x^{2}+x+3 \quad$
B. $x^{2}+x-3 \quad$
C. $x^{2}+x \quad$
D. $x^{2}-x$
Theo giả thiết ta có:
$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)=\int{{(2x+1)}}dx} \\ {f(1)=5} \end{array}\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)={{x}^{2}}+x+C} \\ {f(1)={{1}^{2}}+1+C=5} \end{array}\Rightarrow C=3} \right.} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }x\text{ }+\text{ }3$
Toán lớp 12 - Tags: đa thức, nguyên hàm, nguyên hàm của đa thứcCách tính, công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, lập phương
Cách tính, công thức tính thể tích khối tứ diện – Toán lớp 12
12 Đề ôn tập Số phức có đáp án ôn tập THPT quốc gia
Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12
Đề cương ôn tập Toán 12 học kỳ I năm 2013-2014
Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm Toán 12 – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh