Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax+by+cz+d=0$ và $(\beta ):ax+by+cz+D=0$ $(d\ne D).$ ta dùng công thức tính dưới đây.

Công thức: $d((\alpha );(\beta ))$ $=d(A;(\beta ))$ $=\frac{|d–D|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ với $A\in (\alpha ).$

Bài tập áp dụng:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x+y+3z+1=0$ và $(Q):x+y+3z+5=0.$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

A. $d=\frac{2\sqrt{11}}{11}.$

B. $d=\frac{4\sqrt{11}}{11}.$

C. $d=2\sqrt{11}.$

D. $d=11.$

Lời giải:
Chọn $M(–1;0;0)\in (P)$ $\Rightarrow d=d((P);(Q))$ $=\frac{|–1+5|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}$ $=\frac{4\sqrt{11}}{11}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z+1=0$ và $(Q):x+2y+2z+7=0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$

A. $R=6.$

B. $R=2.$

C. $R=1.$

D. $R=3.$

Lời giải:

Do $(P)//(Q)$ $\Rightarrow R=\frac{1}{2}d((P);(Q))$ $=\frac{1}{2}.\frac{|1–7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=1.$

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R=\frac{1}{2}d((P);(Q)).$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(\alpha ):2x+y+2z+1=0$ và $(\beta ):2x+y+2z+3=0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta ).$

A. $d=\frac{2}{3}.$

B. $d=\frac{4}{3}.$

C. $d=2.$

D. $d=\frac{1}{3}.$

Lời giải:

Ta có: $d(O;(\alpha ))=\frac{|1|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{3}$ và $d(O;(\beta ))=\frac{|3|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=1$ suy ra:

$d=d_1+d_2=\frac{4}{3}.$

Chọn đáp án B.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z+2=0$ và $(Q):x+2y+2z+2m–1=0$ bằng $1.$

A. $\{3\}.$

B. $\{3,–3\}.$

C. $\{0,3\}.$

D. $\{0,–3\}.$

Lời giải:

Chọn $M(–2;0;0)\in (P)$ $\Rightarrow d((P);(Q))$ $=d(M;(Q))$ $=\frac{|2m–3|}{3}.$

Theo giả thiết: $\frac{|2m-3|}{3}=1\iff |2m-3|=3\iff [\begin{array}{l}2m-3=3\\ 2m-3=-3\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=3\\ m=0\end{array}$

Chọn đáp án C.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;1;-1).$ Gọi $\overrightarrow{n}=(1;a;b)$, $(a;b\in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a+b.$

A. $2.$

B. $3.$

C. $-2.$

D. $-3.$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(P)$, ta có:

$d(B;(P))=BH\le AB$ $\Rightarrow d(B;(P){)}_{max}=AB.$

Vậy $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=(1;0;–2).$

Suy ra $a=0$ và $b=–2$ $\Rightarrow a+b=–2.$

Chọn đáp án C.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1;–2)$, $C(0;2;0)$ và $D(–1;3;2).$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. Vô số.

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=–4\ne 0$ $\Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng.

Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Chọn đáp án C.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1;–2)$, $C(0;2;0)$ và $D(–1;3;2).$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.

A. $\frac{9\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{5}.$

B. $\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{15}.$

C. $\frac{9\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{15}.$

D. $\frac{9\sqrt{10}+7\sqrt{6}}{15}.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\ne 0$ $\Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_p=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}]=(–2;2;–4)$, có phương trình:

$(P):–2(x–0)+2(y–2)–4(z–0)=0$ $\iff x–y+2z+2=0.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$ Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_Q=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{IB}]=(–1;–3;0)$, có phương trình:

$(Q):–1(x–0)–3(y–2)–0(z–0)=0$ $\iff –x–3y+6=0.$

Vậy $d(O;(P))+d(O;(Q))$ $=\frac{9\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{15}.$

Chọn đáp án B.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1;–2)$, $C(0;2;0)$ và $D(–1;3;2).$ Gọi $\overrightarrow{n}(1;b;0)$, $(b\in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính $b^2.$

A. $16.$

B. $1.$

C. $4.$

D. $9.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=-4\ne 0\Rightarrow A,B,C,D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_P=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}]=(–2;2;–4).$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$

Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_Q=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{IB}]=(–1;–3;0).$

Theo giả thiết $\overrightarrow{n}(1;b;0)$ $={\overrightarrow{n}}_Q=(–1;–3;0)$ $\Rightarrow b=3.$

Vậy $b^2=9.$

Chọn đáp án D.

• Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian

• Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chứng minh các BĐT về tổng, tích của dãy số bằng ph­­ương pháp làm trội, làm giảm, phương pháp quy nạp

• Ví dụ tính tích phân hàm số lượng giác có lời giải

• Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ

• Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021

• 60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ