Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax + by + cz + d = 0$ và $(\beta ):ax + by + cz + D = 0$ $(d \ne D).$ ta dùng công thức tính dưới đây.

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Công thức: $d((\alpha );(\beta ))$ $ = d(A;(\beta ))$ $ = \frac{{|d – D|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với $A \in (\alpha ).$

Bài tập áp dụng:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$

B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$

C. $d = 2\sqrt {11} .$

D. $d=11.$

Lời giải:
Chọn $M( – 1;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$

A. $R=6.$

B. $R=2.$

C. $R=1.$

D. $R=3.$

Lời giải:

Do $(P)//(Q)$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d((P);(Q))$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d((P);(Q)).$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(\alpha ):2x + y + 2z + 1 = 0$ và $(\beta ):2x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta ).$

A. $d = \frac{2}{3}.$

B. $d = \frac{4}{3}.$

C. $d=2.$

D. $d = \frac{1}{3}.$

Lời giải:

Ta có: $d(O;(\alpha )) = \frac{{|1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}$ và $d(O;(\beta )) = \frac{{|3|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1$ suy ra:

$d = {d_1} + {d_2} = \frac{4}{3}.$

Chọn đáp án B.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 2 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 2m – 1 = 0$ bằng $1.$

A. $\{ 3\} .$

B. $\{ 3, – 3\} .$

C. $\{ 0,3\} .$

D. $\{ 0, – 3\} .$

Lời giải:

Chọn $M( – 2;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d((P);(Q))$ $ = d(M;(Q))$ $ = \frac{{|2m – 3|}}{3}.$

Theo giả thiết: $\frac{|2 m-3|}{3}=1 \Leftrightarrow|2 m-3|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m-3=3 \\ 2 m-3=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=3 \\ m=0\end{array}\right.\right.$

Chọn đáp án C.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;1;-1).$ Gọi $\vec n = (1;a;b)$, $(a;b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a + b.$

A. $2.$

B. $3.$

C. $-2.$

D. $-3.$

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(P)$, ta có:

$d(B;(P)) = BH \le AB$ $ \Rightarrow d{(B;(P))_{\max }} = AB.$

Vậy $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 2).$

Suy ra $a = 0$ và $b = – 2$ $ \Rightarrow a + b = – 2.$

Chọn đáp án C.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. Vô số.

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} = – 4 \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng.

Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Chọn đáp án C.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.

A. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{5}.$

B. $\frac{{3\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

C. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

D. $\frac{{9\sqrt {10} + 7\sqrt 6 }}{{15}}.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4)$, có phương trình:

$(P): – 2(x – 0) + 2(y – 2) – 4(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + 2z + 2 = 0.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$ Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0)$, có phương trình:

$(Q): – 1(x – 0) – 3(y – 2) – 0(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow – x – 3y + 6 = 0.$

Vậy $d(O;(P)) + d(O;(Q))$ $ = \frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

Chọn đáp án B.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Gọi $\vec n(1;b;0)$, $(b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính ${b^2}.$

A. $16.$

B. $1.$

C. $4.$

D. $9.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $| \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}=-4 \neq 0 \Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4).$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$

Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0).$

Theo giả thiết $\vec n(1;b;0)$ $ = {\vec n_Q} = ( – 1; – 3;0)$ $ \Rightarrow b = 3.$

Vậy ${b^2} = 9.$

Chọn đáp án D.

Tin tức - Tags: , , ,