Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ

Tích phân hàm số hữu tỷ có dạng:
$I=\int_{a}^{b} \frac{P(x)}{Q(x)} d x$

Bằng cách chia đa thức, nếu cần, ta luôn đưa được về tích phân dạng như trên, trong đó bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Bây giờ ta xét các dạng cơ bản nhất, mà tất cả các tích phân hữu tỷ đều có thể đưa được về nó.

Dạng 1.

$\int \frac{d x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C$.

Ví dụ 1.
$I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{2 x+1}=\left.\frac{1}{2}(\ln |2 x+1|)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}(\ln 3-\ln 1)=\frac{\ln 3}{2}$.

Dạng 2.

$I_{2}=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c},$ trong do tam thüc $a x^{2}+b x+c$ có hai nghiệm phân biệt, giả sử $x_{1}<x_{2}$

Suy ra $\begin{aligned} I_{2} &=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c} \\ &=\frac{1}{a\left(x_{2}-x_{1}\right)} \int\left(\frac{1}{x-x_{2}}-\frac{1}{x-x_{1}}\right) d x \\ &=\frac{1}{a\left(x_{2}-x_{1}\right)}\left(\ln \left|x-x_{2}\right|-\ln \left|x-x_{1}\right|\right)+C \\ &=\frac{1}{a\left(x_{2}-x_{1}\right)} \ln \left|\frac{x-x_{2}}{x-x_{1}}\right|+C \end{aligned}$

Ví dụ 2. Tính $\begin{aligned} I &=\int_{-1}^{3} \frac{d x}{x^{2}-3 x+2}=\int_{-1}^{3} \frac{d x}{(x-1)(x-2)} \\ &=\int_{-1}^{3}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right) d x=\left.(\ln |x-2|-\ln |x-1|)\right|_{-1} ^{3} \\ &=\left.\left(\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|\right)\right|_{-1} ^{3}=\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{3}{2} \quad=\ln \frac{1}{3} \end{aligned}$

Dạng 3.

$I_{3}=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c},$ trong dó tam thức $a x^{2}+b x+c$ có nghiệm kép $x_{0}$

Suy ra $I_{3}=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\frac{1}{a} \int \frac{d x}{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=-\frac{1}{a\left(x-x_{0}\right)}+C$.

Ví dụ 3. $I=\int_{0}^{2} \frac{d x}{x^{2}+2 x+1}=\int_{0}^{2} \frac{d x}{(x-1)^{2}}=-\left.\left(\frac{1}{x-1}\right)\right|_{0} ^{2}=-2$.

Dạng 4.

$I_{4}=\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c},$ trong đó tam thức $a x^{2}+b x+c$ vô nghiệm.

Ta phân tích

$I_{4}=\frac{1}{a} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{4 a c-b^{2}}}{2 a}\right)^{2}}$

Suy ra

$I_{4}=\frac{1}{a} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{4 a c-b^{2}}}{2 a}\right)^{2}}$.

Ta áp dụng công thức $\int \frac{d x}{x^{2}+k^{2}}-\frac{1}{k} \arctan \left(\frac{x}{k}\right)+C$.

Ví dụ 4.

$\begin{aligned} I=& \int_{-1 / 2}^{0} \frac{d x}{x^{2}+x+1}=\int_{-1 / 2}^{0} \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]_{-1 / 2}^{0} \\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}-\arctan 0\right)=\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{x}{6}=\frac{\pi}{3 \sqrt{3}} \end{aligned}$

Chú ý. Tích phân $I=\int_{a}^{b} \frac{P(x)}{Q(x)} d x$ luôn có thể phân tích được về các dạng trên.

Ví dụ 5. Tính tích phân

$I=\int_{0}^{2} \frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{x^{2}+x-2} d x$.

Giải. Thực hiện phép chia đa thức $x^{3}+2 x^{2}-1$ cho $x^{2}+x-2$ ta có

$\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{x^{2}+x-2}=x+1+\frac{x+1}{x^{2}+x-2}$.

Suy ra

$\begin{aligned} I &=\int_{0}^{2}\left(x+1+\frac{x+1}{x^{2}+x-2}\right) d x=\int_{0}^{2}(x+1) d x+\int_{0}^{2} \frac{x+1}{x^{2}+x-2} d x \\ &=\int_{0}^{2}(x+1) d x+\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{x^{2}+x-2} d x+\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+x-2} d x\right) \end{aligned}$

Tính $I_{1}=\int_{0}^{2}(x+1) d x=\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\right|_{0} ^{2}=6$.

Tính $I_{2}=\int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{x^{2}+x-2} d x$ .

Đổi cận $t=x^{2}+x-2 \Rightarrow d t=2 x+1$.

$$\begin{array}{c|lr}
x & 0 & 2 \\
\hline t & -2 & 4 \\
\end{array}$$

Tính
$\begin{aligned} I_{3} &=\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+x-2} d x=\int_{0}^{2} \frac{d x}{(x-1)(x+2)} \\ &=\frac{1}{3} \int_{0}^{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}\right) d x=\left.\frac{1}{3}\left(\ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{1}{3} \ln \frac{1}{2} \end{aligned}$

Vậy

$\begin{aligned} I &=I_{1}+\frac{1}{2}\left(I_{2}+I_{3}\right)=6+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} \ln \frac{1}{2}+\ln 2\right) \\ &=6+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3} \ln 2+\ln 2\right)=6+\frac{1}{3} \ln 2 \end{aligned}$

Tin tức - Tags: , ,