Ví dụ tính tích phân hàm số lượng giác có lời giải

Công thức tính tích phân hàm lượng giác hay dùng:

$\begin{array}{l}\left(1\right)\int \cos xdx=\sin x+C;\left(1\prime \right)\int \cos \left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}\sin \left(ax+b\right)+C;\\ \left(2\right)\int \sin xdx=–\cos x+C;\left(2\prime \right)\int \sin \left(ax+b\right)dx=–\frac{1}{a}\cos \left(ax+b\right)+C;\\ \left(3\right)\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\int \left(1+{\tan }^{2}x\right)dx=\tan x+C;\\ \left(4\right)\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=\int \left(1+{\cot }^{2}x\right)dx=–\cot x+C.\end{array}$

*Chú ý: Các em cần phải nhớ các công thức lượng giác đã học.

Ví dụ 1.

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos 2xdx=\frac{1}{2}{\left(\sin 2x\right)|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}.$

Ví dụ 2.

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{\sin x+\cos x}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}$ .

Đặt $t=x+\frac{\pi }{4}\Rightarrow dt=dx$. Đổi cận

$\begin{array}{clc}x& 0& \frac{\pi }{4}\\ t& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{2}\end{array}$

Suy ra

$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{dt}{\mathrm{sint}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin tdt}{{\sin }^{2}t}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin tdt}{1–{\cos }^{2}t}$ .

Đổi cận

$\begin{array}{clr}x& 0& 2\\ t& -2& 4\end{array}$

Suy ra

$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\overset{0}{\int }}\frac{–du}{1–u^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\overset{0}{\int }}\frac{du}{u^2–1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}{\left(\ln \left|\frac{u–1}{u+1}\right|\right)|}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^0=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left|\frac{1+\sqrt{2}}{1–\sqrt{2}}\right|$.

Ví dụ 3.

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin 2x\cos xdx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\sin 3x+\sin x\right)dx=\frac{1}{2}{\left(–\frac{\cos 3x}{3}–\cos x\right)|}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{7}{12}$.

Ví dụ 4. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x{\left(1+{\sin }^{2}x\right)}^{3}dx$ .

Giải. Đặt $t=1+{\sin }^{2}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx\Rightarrow dt=\sin 2xdx$.

Đổi cận

$$\begin{array}{clr}x& 0& \frac{\pi }{2}\\ t& 1& 2\end{array}$$

Suy ra

$I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^{3}dt={\left(\frac{t^4}{4}\right)|}_1^2=\frac{15}{4}$.

Ví dụ 5. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{{\sin }^{3}x}{1+\cos x}dx$ .

Giải. Đặt $t=1+\cos x\Rightarrow dt=–\sin xdx$. Đổi cận

$\begin{array}{clr}x& 0& \frac{\pi }{2}\\ t& 2& 1\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{{\sin }^{3}x}{1+\cos x}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1–{\cos }^{2}x}{1+\cos x}\sin xdx=\underset{2}{\overset{1}{\int }}\frac{1–{\left(t–1\right)}^2}{t}\left(–tdt\right)\\ =\underset{2}{\overset{1}{\int }}\frac{1–{\left(t–1\right)}^2}{t}\left(–tdt\right)=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2t–t^2\right)dt={\left(t^2–\frac{t^3}{3}\right)|}_1^2=\frac{2}{3}.\end{array}$

• Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ

• Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021

• 60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ

• Những câu thơ về cha mẹ hay và ý nghĩa

• Cách học tiếng Anh cho người mới bắt đầu

• Phát âm chuẩn tiếng Anh nhờ kỹ thuật bắt chước

• Cách dùng thì hiện tại đơn, công thức và bài tập áp dụng – Simple Present