Mở rộng một số bất đẳng thức

Việc mở rộng một BĐT giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về BĐT đó và đồng thời có tác dụng trong việc phát triển tư duy, cũng như óc tìm tòi sáng tạo của học sinh.

Việc làm này nên làm thường xuyên ngay trong quá trình dạy.
Ví dụ 1:
Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: ${\displaystyle (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4}$
Mở rộng: Cho n số dương ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$. Chứng minh rằng:
${\displaystyle (a_1+a_2+..+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+..+\frac{1}{a_n})\ge n^2}$
* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si  để giải
Ví dụ 2:
Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: ${\displaystyle (a+1)(b+1)\ge 2}$
Mở rộng:
Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
a) $(a_1+1)(a_2+1)\dots (a_n+1)\ge 2^n$
b) ${\displaystyle (a_1+a_2)(a_2+a_3)(a_3+a_4)..(a_n+a_1)\ge 2^n}$
Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải
Ví dụ 3:
Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
${(a+\frac{1}{b})}^2+{(b+\frac{1}{a})}^2\ge \frac{25}{2}$
Mở rộng:
Cho n số dương ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$ có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a) ${\displaystyle {(a_1+\frac{1}{a_2})}^2+{(a_2+\frac{1}{a_3})}^2+..+{(a_n+\frac{1}{a_1})}^2\ge {\left(\frac{n^2+1}{n}\right)}^2}$
b) ${\displaystyle {(a_1+\frac{1}{a_1})}^2+{(a_2+\frac{1}{a_2})}^2+..+{(a_n+\frac{1}{a_n})}^2\ge {\left(\frac{n^2+1}{n}\right)}^2}$
* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải
Ví dụ 4:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: a⁴ + b⁴ ≥ a³ + b³
Mở rộng:
1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2.
Chứng minh rằng: aⁿ + bⁿ ≥ a^n-1 + b^n-1      (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)
* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp
2/ a) Cho n số thực ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$ thoả mãn ${\displaystyle a_1+a_2+..+a_n=n}$.
Chứng minh rằng: ${\displaystyle {a_1}^4+{a_2}^4+..+{a_n}^4\ge {a_1}^3+{a_2}^3+..+{a_n}^3}$
b) Cho n số thực ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$ thoả mãn ${\displaystyle a_1+a_2+..+a_n\ge n}$
Chứng minh rằng: ${\displaystyle {a_1}^4+{a_2}^4+..+{a_n}^4\ge {a_1}^3+{a_2}^3+..+{a_n}^3}$
*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp
Ví dụ 5:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng: ${\displaystyle a^2+b^2\ge \frac{1}{2}}$
Mở rộng:
Cho n số thực ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$ thoả mãn ${\displaystyle a_1+a_2+..+a_n=\frac{n}{2}}$.
Chứng minh rằng:  ${\displaystyle {a_1}^2+{a_2}^2+..+{a_n}^2\ge \frac{n}{4}}$
* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

• 4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội

• Các dạng toán Đại số thường gặp trong đề thi vào 10

• Ôn tập Hình học thi vào cấp 3 (lớp 10)

• Bất đẳng thức, tìm giá trị min-max của biểu thức

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

• Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số