Lý thuyết dãy số

Lý thuyết về dãy số, các khái niệm và tính chất của dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

1. Định nghĩa dãy số

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển ${\displaystyle u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,\dots }$
trong đó ${\displaystyle u_n}$ = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, ${\displaystyle u_1}$ là số hạng đầu của dãy số (${\displaystyle u_n}$)
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn
Dạng khai triển của nó là: ${\displaystyle u_1,u_2,u_3,\dots ,u_m}$ , trong đó ${\displaystyle u_1}$ là số hạng đầu, ${\displaystyle u_m}$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số được cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Khi đó ${\displaystyle u_n}$ = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N* .
Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được ${\displaystyle u_n}$.
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được ${\displaystyle u_n}$ với n tuỳ ý.
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)
– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
– Với n ≥ 2, cho một công thức tính ${\displaystyle u_n}$ nếu biết ${\displaystyle u_{n-1}}$ (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)
Chẳng hạn, công thức có thể là: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_n=f(u_{n-1}),n\ge 2\end{array}}$
hoặc ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_1=a,u_2=b\\ u_n=f(u_{n-1},u_{n-2}),n\ge 3\end{array}}$

3) Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số ${\displaystyle u_n}$ được gọi là dãy số tăng nếu ${\displaystyle u_{n+1}>u_n}$ với mọi n ∈ N*
– Dãy số ${\displaystyle u_n}$ được gọi là dãy số giảm nếu ${\displaystyle u_{n+1}<u_n}$ với mọi n ε N* .
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (${\displaystyle u_n}$):
Phương pháp 1: Xét hiệu H = ${\displaystyle u_{n+1}-u_n}$
– Nếu H > 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng
– Nếu H < 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm
Phương pháp 2:
Nếu ${\displaystyle u_n}$ > 0 với mọi n ∈ N* thì lập tỉ số , rồi so sánh với 1.
– Nếu > 1 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng.
– Nếu < 1 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm.

4. Định nghĩa dãy số bị chặn

– Dãy số ${\displaystyle u_n}$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
${\displaystyle u_n}$ ≤ M, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số ${\displaystyle u_n}$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
${\displaystyle u_n}$ ≥ m, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số ${\displaystyle u_n}$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số m, M sao cho:
m ≤ ${\displaystyle u_n}$ ≤ M, với mọi n ∈ N*

• Hàm số lũy thừa, số mũ

• Khái niệm lũy thừa, cách tính lũy thừa của một số

• Tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

• Cực trị của hàm số

• Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10

• Ôn tập kiến thức Toán lớp 11

• Lý thuyết biểu đồ trong toán học