Cực trị của hàm số

Lý thuyết cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm ${\displaystyle x_0}$ ∈ (a ; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(${\displaystyle x_0}$), ∀x ∈ (${\displaystyle x_0}$ – h ; ${\displaystyle x_0}$ + h), x # ${\displaystyle x_0}$ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại ${\displaystyle x_0}$ .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(${\displaystyle x_0}$), ∀x ∈ (${\displaystyle x_0}$ – h ; ${\displaystyle x_0}$ + h), x # ${\displaystyle x_0}$ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại ${\displaystyle x_0}$ .

2. Định lí 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x${\displaystyle x_0}$ – h ; ${\displaystyle x_0}$ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { ${\displaystyle x_0}$ }.
– Nếu ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)>0|\mathrm{\forall }(x_0-h;x_0)\\ f^{\prime }(x)<0|\mathrm{\forall }(x_0;x_0+h)\end{array}}$ thì ${\displaystyle x_0}$ là điểm cực đại của hàm số
– Nếu ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)<0|\mathrm{\forall }(x_0-h;x_0)\\ f^{\prime }(x)>0|\mathrm{\forall }(x_0;x_0+h)\end{array}}$ thì ${\displaystyle x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

3. Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (${\displaystyle x_0}$ – h ; ${\displaystyle x_0}$ + h) (h > 0).
– Nếu f'(${\displaystyle x_0}$) = 0, f”(${\displaystyle x_0}$) > 0 thì ${\displaystyle x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
– Nếu f'(${\displaystyle x_0}$) = 0, f”(${\displaystyle x_0}$) < 0 thì ${\displaystyle x_0}$ là điểm cực đại của hàm số

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.
– Tính f”(x) và f”(${\displaystyle x_i}$) suy ra tính chất cực trị của các điểm ${\displaystyle x_i}$
*Chú ý: nếu f”(${\displaystyle x_i}$)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại ${\displaystyle x_i}$

• Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10

• Ôn tập kiến thức Toán 12 luyện thi THPT Quốc gia, Đại học

• Lý thuyết biểu đồ trong toán học

• Lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Lý thuyết bất đẳng thức

• Lý thuyết đại cương về phương trình

• Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai