Chuyên đề: Phương trình trùng phương
Bài viết này nói về Chuyên đề phương trình trùng phương, một dạng phương trình thường xuất hiện trong các đề thi Toán tuyển sinh vào 10.
Các em cùng Timgiasuhanoi.com học chuyên đề này nhé.
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Đặt t = x2 (t ≠ 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)
- Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\\S>0\end{array} \right.$
- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P=0\\S>0\end{array} \right.$
- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S>0\end{array} \right.\\P<0\end{array} \right.$
- Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S=0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P=0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
- Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\Delta <0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
- Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng $ \displaystyle \frac{c}{a}$.
II. MỘT SỐ BÀI MẪU
Bài 1: Giải phương trình: $ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$ (1)
Giải:
Cách 1: Đặt t = x2 ⇒ t ≥ 0 phương trình (1) có dạng :
t2-13t +36 = 0 Ta có
$ \displaystyle \Delta ={{(-13)}^{2}}-4.36=25\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$
⇒ $ \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-(-13)+5}{2}=9$; $ \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-(-13)-5}{2}=4$
• Với t1 = 9 ⇔ x2 = 9 ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$
• Với t2 = 4 ⇔ x2 =4 ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3.
Cách 2:
$ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$
$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow ({{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+36)-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-6)}^{2}}-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-6-x)({{x}^{2}}-6+x)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-6-x=0\\{{x}^{2}}-6+x=0\end{array} \right.\end{array}$
Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x=-2; x= 3.
Giải phương trình : x2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm x= 2; x= -3.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-3; x2= -2; x3=2; x4 = 3.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
1) $ \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+4=0$
2) $ \displaystyle {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+3=0$
3) $ \displaystyle 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$
4) $ \displaystyle {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6=0$
5) $ \displaystyle 2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$
8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
Chủ đề 4: Đồ thị hàm số – Phần Đại số
Mở rộng một số bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội
Các dạng toán Đại số thường gặp trong đề thi vào 10
Ôn tập Hình học thi vào cấp 3 (lớp 10)