Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)
– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$
Giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:
${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$
Suy ra : ${\displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6}$ ⇔ ${\displaystyle (a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})<6}$      (*)
Mà: ${\displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2}$ (a > 0) ;  ${\displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2}$ (b > 0)   ; ${\displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2}$ (c > 0)
${\displaystyle \Rightarrow (a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\ge 6}$
Do đó (*) vô lý.
Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$

• 4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội

• Các dạng toán Đại số thường gặp trong đề thi vào 10

• Ôn tập Hình học thi vào cấp 3 (lớp 10)

• Bất đẳng thức, tìm giá trị min-max của biểu thức

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

• Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số

• Chuyên đề hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b ôn thi vào lớp 10