Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)
– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
a+1b<2b+1c<2  ; c+1a<2
Giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:
a+1b<2b+1c<2  ; c+1a<2
Suy ra : a+1b+b+1c+c+1a<6 ⇔ (a+1a)+(b+1b)+(c+1c)<6      (*)
Mà: a+1a2 (a > 0) ;  b+1b2 (b > 0)   ; c+1c2 (c > 0)
(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)6
Do đó (*) vô lý.
Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
a+1b<2b+1c<2  ; c+1a<2

Ôn thi Toán vào lớp 10 - Tags: , ,