Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.
* Cấu trúc của phương pháp.
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)
– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$ ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$
Giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:
$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$ ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$
Suy ra : $ \displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6$ ⇔ $ \displaystyle \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6$ (*)
Mà: $ \displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2$ (a > 0) ; $ \displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2$ (b > 0) ; $ \displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2$ (c > 0)
$ \displaystyle \Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6$
Do đó (*) vô lý.
Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$ ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$
4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội
Các dạng toán Đại số thường gặp trong đề thi vào 10
Ôn tập Hình học thi vào cấp 3 (lớp 10)
Bất đẳng thức, tìm giá trị min-max của biểu thức
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số
Chuyên đề hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b ôn thi vào lớp 10