Cách tính nguyên hàm của phân thức

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một phân thức thông qua các ví dụ có lời giải.

Để tính được nguyên hàm của của một hàm số là phân thức chúng ta cần áp dụng các công thức trong bảng nguyên hàm dưới đây:

$ \displaystyle \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

$ \displaystyle \int \frac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C$

$ \displaystyle \int \frac{1}{x-a} d x=\ln |x-a|+C$

$ \displaystyle \int \frac{1}{k x+a} d x=\frac{1}{k} \ln |k x+a|+C$

$ \displaystyle \int \frac{1}{k x-a} d x=\frac{1}{k} \ln |k x-a|+C$

Ví dụ tính nguyên hàm của phân thức

Ví dụ 1. Cho $ \displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-5)}+\frac{C}{(x+4)}$. Khi đó tổng S = A + B + C bằng

A. $ \displaystyle \frac{1}{18}$

B. $0$

C. $ \displaystyle \frac{1}{14}$

D. $-\frac{1}{63}$

Giải:

$ \displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-5)}+\frac{C}{(x+4)}$

$ \displaystyle \Rightarrow A(x-5)(x+4)+B(x+2)(x+4)+C(x+2)(x-5)=1$

$+) x=-2 \Rightarrow-14 A=1$

$ \displaystyle \Rightarrow A=-\frac{1}{14}$

$+) x=5 \Rightarrow 63 B=1$

$ \displaystyle \Rightarrow B=\frac{1}{63}$

$+) x=-4 \Rightarrow 18 C=1$

$ \displaystyle \Rightarrow C=\frac{1}{18}$

$ \displaystyle \Rightarrow A+B+C=0$

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Tìm $ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-3 x+2}$ là:

A. $ \displaystyle \ln \frac{1}{x-2}-\ln \frac{1}{x-1}+C$

B. $ \displaystyle \ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$

C. $ \displaystyle \ln \left|\frac{x-1}{x-2}\right|+C$

D. $ \displaystyle \ln (x-2)(x-1)+C$

Giải:

$ \displaystyle \int \frac{d x}{x^{2}-3 x+2}=\int \frac{d x}{(x-1)(x-2)}$

$=\int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right) d x$

$=\ln |x-2|-\ln |x-1|+C$

$=\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3. Cho $\displaystyle I=\int{{\frac{{5-3x}}{{\left( {{{x}^{2}}-5x+6} \right)\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)}}}}dx=\frac{a}{{x-1}}-\ln \left| {\frac{{x-b}}{{x-2}}} \right|+C$. Khi đó $P = 2a + b$ bằng:

A. 0            B. 1              C. 2               D. 3

Giải:

$\displaystyleI=\int \frac{\left(x^{2}-5 x+6\right)-\left(x^{2}-2 x+1\right)}{\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(x^{2}-2 x+1\right)} d x=\int \frac{d x}{(x-1)^{2}}-\int \frac{d x}{(x-2)(x-3)}$

$\displaystyle=\int \frac{d x}{x^{2}-2 x+1}-\int \frac{d x}{x^{2}-5 x+6} \quad I=\int(x-1)^{-2} d x-\int\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right) d x$

$\displaystyle=\frac{x^{-1}}{-1}-(\ln |x-3|-\ln |x-2|)+C$

$\displaystyle=\frac{-1}{x-1}-\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4. Cho $I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=a \ln |x+1|-\frac{1}{x}+b \ln | x+c$. Khi đó $P = 2(a + b)c$ bằng

A. 2              B. −2                  C. 1                  D. 0

Giải:

$I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=\int \frac{x^{2}+(x+1)-x}{x^{2}(x+1)} d x$

$=\int\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x(x+1)}\right) d x$

$=\int\left[\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\right] d x$

$=\int\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right] d x$

$=2 \ln |x+1|-\frac{1}{x}-\ln |x|+C$

$ \displaystyle \Rightarrow a=2, b=-1, c=0 \Rightarrow P=0$

Suy ra $a=-1 ; b=3 \Rightarrow P=2 a+b=1$

⇒ Chọn đáp án D.

Ví dụ 5. Tìm hàm số f(x)= x2 + ax + ln |bx+ 1| + c biết $\displaystyle {{f}^{\prime }}(x)=\frac{{4{{x}^{2}}+4x+3}}{{2x+1}}$ và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3.c bằng

A. 0

B. $1 \quad$

C. $ \displaystyle \frac{2}{3}$

D. 4

Giải:

Ta có:

$\displaystyle f(x)=\int{{\frac{{4{{x}^{2}}+4x+3}}{{2x+1}}}}dx$

$\displaystyle =\int{{\left( {2x+1+\frac{2}{{2x+1}}} \right)}}dx$

$=x^{2}+x+\ln |2 x+1|+c$

Mà $f(0)=1$ nên $c=1 .$ Khi dó, $f(x)=x^{2}+x+\ln |2 x+1|+1$

Suy ra $\displaystyle \text{a}=1,\text{b}=2,\text{c}=1$ nên $ \displaystyle \mathrm{S}=(2 \mathrm{a}-\mathrm{b})^{3} \mathrm{c}=0$

Toán lớp 12 - Tags: ,