Cách tính nguyên hàm của hàm số lượng giác
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một hàm số lượng giác thông qua các ví dụ có lời giải.
Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Công thức áp dụng:
$\displaystyle\int \sin a x \cdot d x=-\frac{\cos a \cdot x}{a}+C$
$\displaystyle\int \cos a x \cdot d x=\frac{\sin a \cdot x}{a}+C$
$\displaystyle\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$
$\displaystyle\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C$
Ngoài ra, ta cần sử dụng các tính chất của nguyên hàm; các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc…
Ví dụ tính nguyên hàm của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4cos4x$ là
$\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {\text{ A}\text{. }\sin 4x+C} & {\text{ B}\text{. }-\frac{1}{4}\sin 4x+C} & {\text{ C}\text{. }-4\sin 4x+C} & {\text{ D}\text{. }-\sin 4x+C} \end{array}$
Giải:
$\displaystyle\int f(x) d x=\int 4 \cos 4 \mathrm{x}=4 \int \cos 4 x=4 \cdot \frac{1}{4} \sin 4 x+C=\sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Tính $\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x,$ kết quả là:
A. $\displaystyle x-\frac{\sin 2 x}{2}+C$
B. $\displaystyle 2 x+\frac{\sin 2 x}{4}+C$
C. $\displaystyle\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$
D. Kết quả khác
Giải:
Ta có:
$\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x=\int \frac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\int \frac{1}{2} d x-\int \frac{\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Tính $\displaystyle\int(\cos 6 x-\cos 4 x) \mathrm{d} x$, kết quả là:
A. $-\frac{1}{6} \sin 6 x+\frac{1}{4} \sin 4 x+C$
B. $6 \sin 6 x-5 \sin 4 x+C$.
C. $\displaystyle\frac{1}{6}\sin 6x-\frac{1}{4}\sin 4x+C$
D. $-6 \sin 6 x+\sin 4 x+C$
Giải:
$\displaystyle\int(\cos 6 x-\cos 4 x) d x$
$\displaystyle=\int \cos 6 x d x-\int \cos 4 x d x$
$\displaystyle=\frac{1}{6} \sin 6 x-\frac{1}{4} \sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx . cosx là:
A. $\displaystyle-\frac{1}{2} \cos 2 x+C$
B. $\displaystyle-\cos x \cdot \sin x+C$
C. $\displaystyle\cos 2 x+\sin 2 x+C$
D. $\displaystyle-\frac{1}{4} \cos 2 x+C$
Giải:
$I=\int \sin x \cdot \cos x \mathrm{d} x=\int \frac{\sin 2 x}{2} d x$
$\displaystyle=\frac{1}{2} \cdot \frac{-\cos 2 x}{2}+C$
$\displaystyle=\frac{-1}{4} \cos 2 x+C$
⇒ Chọn đáp án D.
Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số f(x)= cos5x. cosx là:
A. $\displaystyle\cos 6 x$
B. $\displaystyle\sin 6 x$.
C. $\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6} \sin 6 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right) \cdot$
D. $\displaystyle-\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 6 x}{6}+\frac{\sin 4 x}{4}\right)$
Giải:
$\displaystyle I=\int \cos 5 x \cdot \cos x \mathrm{d} x$
$\displaystyle=\int \frac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 4 x) \mathrm{d} x$
$\displaystyle=\frac{1}{2} \int \cos 6 x \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int \cos 4 x \mathrm{d} x$
$\displaystyle=\frac{1}{12} \sin 6 x+\frac{1}{8} \sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Toán lớp 12 - Tags: hàm số lượng giác, lượng giác, nguyên hàmCách tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức
Cách tính nguyên hàm của phân thức
Bảng nguyên hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng đầy đủ nhất
Cách tính nguyên hàm của đa thức
Cách tính, công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, lập phương
Cách tính, công thức tính thể tích khối tứ diện – Toán lớp 12
12 Đề ôn tập Số phức có đáp án ôn tập THPT quốc gia