Cách tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một hàm số lượng giác thông qua các ví dụ có lời giải.

Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Công thức áp dụng:

${\displaystyle \int \sin ax\cdot dx=-\frac{\cos a\cdot x}{a}+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\cdot dx=\frac{\sin a\cdot x}{a}+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C}$

Ngoài ra, ta cần sử dụng các tính chất của nguyên hàm; các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc…

Ví dụ tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=4cos4x$ là

${\displaystyle \begin{array}{llll}\text{ A}\text{. }\sin 4x+C& \text{ B}\text{. }-\frac{1}{4}\sin 4x+C& \text{ C}\text{. }-4\sin 4x+C& \text{ D}\text{. }-\sin 4x+C\end{array}}$

Giải:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int 4\cos 4\mathrm{x}=4\int \cos 4x=4\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C=\sin 4x+C}$

⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Tính ${\displaystyle \int {\sin }^{2}x\mathrm{d}x,}$ kết quả là:

A. ${\displaystyle x-\frac{\sin 2x}{2}+C}$

B. ${\displaystyle 2x+\frac{\sin 2x}{4}+C}$

C. ${\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}$

D. Kết quả khác

Giải:

Ta có:
${\displaystyle \int {\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\int \frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{2}dx=\int \frac{1}{2}dx-\int \frac{\cos 2\mathrm{x}}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tính ${\displaystyle \int (\cos 6x-\cos 4x)\mathrm{d}x}$, kết quả là:

A. $-\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{4}\sin 4x+C$

B. $6\sin 6x-5\sin 4x+C$.

C. ${\displaystyle \frac{1}{6}\sin 6x-\frac{1}{4}\sin 4x+C}$

D. $-6\sin 6x+\sin 4x+C$

Giải:

${\displaystyle \int (\cos 6x-\cos 4x)dx}$

${\displaystyle =\int \cos 6xdx-\int \cos 4xdx}$

${\displaystyle =\frac{1}{6}\sin 6x-\frac{1}{4}\sin 4x+C}$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx . cosx là:

A. ${\displaystyle -\frac{1}{2}\cos 2x+C}$

B. ${\displaystyle -\cos x\cdot \sin x+C}$

C. ${\displaystyle \cos 2x+\sin 2x+C}$

D. ${\displaystyle -\frac{1}{4}\cos 2x+C}$

Giải:

$I=\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x=\int \frac{\sin 2x}{2}dx$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{-\cos 2x}{2}+C}$

${\displaystyle =\frac{-1}{4}\cos 2x+C}$

⇒ Chọn đáp án D.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số f(x)= cos5x. cosx là:

A. ${\displaystyle \cos 6x}$

B. ${\displaystyle \sin 6x}$.

C. ${\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{4}\sin 4x)\cdot }$

D. ${\displaystyle -\frac{1}{2}(\frac{\sin 6x}{6}+\frac{\sin 4x}{4})}$

Giải:

${\displaystyle I=\int \cos 5x\cdot \cos x\mathrm{d}x}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{2}(\cos 6x+\cos 4x)\mathrm{d}x}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \cos 6x\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int \cos 4x\mathrm{d}x}$

${\displaystyle =\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{8}\sin 4x+C}$

⇒ Chọn đáp án C.

• Cách tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức

• Cách tính nguyên hàm của phân thức

• Bảng nguyên hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng đầy đủ nhất

• Cách tính nguyên hàm của đa thức

• Cách tính, công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, lập phương

• Cách tính, công thức tính thể tích khối tứ diện – Toán lớp 12

• 12 Đề ôn tập Số phức có đáp án ôn tập THPT quốc gia