Cách tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một hàm số chứa căn thức thông qua các ví dụ có lời giải.
Phương pháp tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức.
Công thức áp dụng:
$\displaystyle\int x^{\alpha} d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C ;(\alpha \neq-1)$
$\displaystyle\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}$
Ví dụ tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}$
A. $\displaystyle\frac{2}{9} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
B. $\displaystyle\frac{3}{2} x \sqrt{x}+\frac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$
C. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
D. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$
Giải:
$\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int\left(\frac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}\right) d x$
$\displaystyle=\frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x+\int \sqrt[3]{x} d x$
$\displaystyle=\frac{1}{3} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C$
$\displaystyle=\frac{2}{9} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle\int\left(\sqrt[4]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$
A. $\displaystyle\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[5]{x}+\frac{1}{8} \sqrt{x}+C$
B. $\displaystyle\frac{5}{4} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$
C. $\displaystyle\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$
D. $\displaystyle\frac{4}{5} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$
Giải:
$\displaystyle\int\left(\sqrt[4]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$
$\displaystyle=\int x^{\frac{1}{4}} d x+4 \int x^{\frac{-1}{2}} d x$
$\displaystyle=\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}+4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$
$\displaystyle=\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Tìm $\displaystyle\int \frac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$
A. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$
B. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+2 x^{2}+2 \sqrt{x}+C$
C. $\displaystyle\frac{3}{2} x \sqrt{x}+x^{2}+4 \sqrt{x}+C$
D. Đáp án khác
Giải:
$\displaystyle\int \frac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$
$\displaystyle=\int\left(\sqrt{x}+x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x$
$\displaystyle=\int x^{\frac{1}{2}} d x+\int x d x+2 \int x^{\frac{-1}{2}} d x$
$\displaystyle=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{2}}{2}+2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$
$\displaystyle=\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số: $y=\frac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}$
A. $2 \sqrt{x}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
B. $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
C. $2 \sqrt{x}-6 \sqrt[6]{x}+C$
D. $4 \sqrt{x}+\frac{1}{6 \sqrt[6]{x}}+C$
Giải:
Ta có:
$\displaystyle\int \frac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}} d x$
$\displaystyle=\int\left(\frac{x^{2}}{x \sqrt{x}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}\right) d x$
$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[6]{x^{7}}}\right) d x$
$\displaystyle=\int x^{\frac{-1}{2}} d x+\int x^{\frac{-7}{6}} d x$
$\displaystyle=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{-1}{6}}}{\frac{-1}{6}}+C=2 \sqrt{x}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Toán lớp 12 - Tags: căn thức, nguyên hàmCách tính nguyên hàm của phân thức
Bảng nguyên hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng đầy đủ nhất
Cách tính nguyên hàm của đa thức
Cách tính, công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, lập phương
Cách tính, công thức tính thể tích khối tứ diện – Toán lớp 12
12 Đề ôn tập Số phức có đáp án ôn tập THPT quốc gia
Giải tích phân lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ