Bảng nguyên hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng đầy đủ nhất

Bảng gồm các công thức nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm nâng cao, nguyên hàm mở rộng dành cho học sinh lớp 12 áp dụng làm các bài tập về nguyên hàm.

Nhắc lại định nghĩa về nguyên hàm như sau:

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Ví dụ: Hàm số f(x) = cos X có nguyên hàm là F (X) = sin X vi (sin X)’ = cos X (tức F ‘(X) = f (X)).

Dưới đây là bảng nguyên hàm bao gồm: Nguyên hàm vô tỷ, nguyên hàm hữu tỉ, nguyên hàm e, nguyên hàm logarit, nguyên hàm lượng giác

Bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp

1. $\displaystyle \int d x=x+C$

2. $\displaystyle \int k d x=k x+C$

3. $\displaystyle \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n \neq-1)$

4. $\displaystyle \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)$

5. $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x}+C$

6. $\displaystyle \int \frac{1}{x^{n}} d x=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C$

7. $\displaystyle \int e^{x} d x=e^{x}+C$

8. $\displaystyle \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0<a \neq 1)$

9. $\displaystyle \int \cos x d x=\sin x+C$

10. $\displaystyle \int \sin x d x=-\cos x+C$

11. $\displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\int\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\tan x+C$

12. $\displaystyle \int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=\int\left(1+\cot ^{2} x\right) d x=-\cot x+C$

13. $\displaystyle \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=\sqrt{x}+C$

Bảng các nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)

14. $\displaystyle \int(a x+b)^{\alpha} d x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$

15. $\displaystyle \int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C$

16. $\displaystyle \int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C$

17. $\displaystyle \int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C$

18. $\displaystyle \int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C$

19. $\displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C$

20. $\displaystyle \int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C$

21. $\displaystyle \int \mathbf{f}(\mathbf{a x}+\mathbf{b}) \mathbf{d x}=\frac{1}{\mathbf{a}} \mathbf{F}(\mathbf{a x}+\mathbf{b})+\mathbf{C}$

$\displaystyle \int{{\tan }}x\cdot dx=-\ln |\cos x|+C$

$\displaystyle \int{{\cot }}x\cdot dx=\ln |\sin x|+C$

$\displaystyle \int{{\tan }}(ax+b)\text{dx}=-\frac{1}{a}\ln |\cos (ax+b)|+C$

$\displaystyle \int{{\cot }}(ax+b)\text{dx}=\frac{1}{a}\ln |\sin (ax+b)|+C$

Bảng các nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)

22. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c$

23. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c$

24. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln (x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+c$

25. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c$

26. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c$

27. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x}\right|+c$

28. $\displaystyle \int \ln (a x+b) \mathrm{d} \mathrm{x}=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c$

29. $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c$

30. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}\right|+c$

31. $\displaystyle \int e^{a x} \cos b x \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+c$

32. $\displaystyle \int e^{a x} \sin b x \mathrm{d} \mathrm{x}=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+c$

Toán lớp 12 - Tags: , , ,