Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ

Tích phân hàm số hữu tỷ có dạng:
$I={\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$

Bằng cách chia đa thức, nếu cần, ta luôn đưa được về tích phân dạng như trên, trong đó bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Bây giờ ta xét các dạng cơ bản nhất, mà tất cả các tích phân hữu tỷ đều có thể đưa được về nó.

Dạng 1.

$\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$.

Ví dụ 1.
$I_1={\int }_0^1\frac{dx}{2x+1}={\frac{1}{2}(\ln |2x+1|)|}_0^1=\frac{1}{2}(\ln 3-\ln 1)=\frac{\ln 3}{2}$.

Dạng 2.

$I_2=\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c},$ trong do tam thüc $a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt, giả sử $x_1<x_2$

Suy ra $\begin{array}{rl}{I}_2& =\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}\\ & =\frac{1}{a(x_2-x_1)}\int (\frac{1}{x-x_2}-\frac{1}{x-x_1})dx\\ & =\frac{1}{a(x_2-x_1)}(\ln |x-x_2|-\ln |x-x_1|)+C\\ & =\frac{1}{a(x_2-x_1)}\ln \left|\frac{x-x_2}{x-x_1}\right|+C\end{array}$

Ví dụ 2. Tính $\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-1}^3\frac{dx}{x^2-3x+2}={\int }_{-1}^3\frac{dx}{(x-1)(x-2)}\\ & ={\int }_{-1}^3(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})dx={(\ln |x-2|-\ln |x-1|)|}_{-1}^3\\ & ={(\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|)|}_{-1}^3=\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{3}{2}=\ln \frac{1}{3}\end{array}$

Dạng 3.

$I_3=\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c},$ trong dó tam thức $a{x}^2+bx+c$ có nghiệm kép $x_0$

Suy ra $I_3=\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{{(x-x_0)}^2}=-\frac{1}{a(x-x_0)}+C$.

Ví dụ 3. $I={\int }_0^2\frac{dx}{x^2+2x+1}={\int }_0^2\frac{dx}{(x-1{)}^2}=-{\left(\frac{1}{x-1}\right)|}_0^2=-2$.

Dạng 4.

$I_4=\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c},$ trong đó tam thức $a{x}^2+bx+c$ vô nghiệm.

Ta phân tích

$I_4=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)}^2}$

Suy ra

$I_4=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)}^2}$.

Ta áp dụng công thức $\int \frac{dx}{x^2+k^2}-\frac{1}{k}\arctan \left(\frac{x}{k}\right)+C$.

Ví dụ 4.

$\begin{array}{rl}I=& {\int }_{-1/2}^0\frac{dx}{x^2+x+1}={\int }_{-1/2}^0\frac{dx}{{(x+\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan {\left[\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})\right]}_{-1/2}^0\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}(\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}-\arctan 0)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{x}{6}=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\end{array}$

Chú ý. Tích phân $I={\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ luôn có thể phân tích được về các dạng trên.

Ví dụ 5. Tính tích phân

$I={\int }_0^2\frac{x^3+2x^2-1}{x^2+x-2}dx$.

Giải. Thực hiện phép chia đa thức $x^3+2x^2-1$ cho $x^2+x-2$ ta có

$\frac{x^3+2x^2-1}{x^2+x-2}=x+1+\frac{x+1}{x^2+x-2}$.

Suy ra

$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^2(x+1+\frac{x+1}{x^2+x-2})dx={\int }_0^2(x+1)dx+{\int }_0^2\frac{x+1}{x^2+x-2}dx\\ & ={\int }_0^2(x+1)dx+\frac{1}{2}({\int }_0^2\frac{2x+1}{x^2+x-2}dx+{\int }_0^2\frac{1}{x^2+x-2}dx)\end{array}$

Tính $I_1={\int }_0^2(x+1)dx={(\frac{x^2}{2}+x)|}_0^2=6$.

Tính $I_2={\int }_0^2\frac{2x+1}{x^2+x-2}dx$ .

Đổi cận $t=x^2+x-2\Rightarrow dt=2x+1$.

$$\begin{array}{clr}x& 0& 2\\ t& -2& 4\end{array}$$

Tính
$\begin{array}{rl}{I}_3& ={\int }_0^2\frac{1}{x^2+x-2}dx={\int }_0^2\frac{dx}{(x-1)(x+2)}\\ & =\frac{1}{3}{\int }_0^2(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2})dx={\frac{1}{3}(\ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|)|}_0^2=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{2}\end{array}$

Vậy

$\begin{array}{rl}I& =I_1+\frac{1}{2}(I_2+I_3)=6+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\ln \frac{1}{2}+\ln 2)\\ & =6+\frac{1}{2}(-\frac{1}{3}\ln 2+\ln 2)=6+\frac{1}{3}\ln 2\end{array}$

• Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021

• 60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ

• Những câu thơ về cha mẹ hay và ý nghĩa

• Cách học tiếng Anh cho người mới bắt đầu

• Phát âm chuẩn tiếng Anh nhờ kỹ thuật bắt chước

• Cách dùng thì hiện tại đơn, công thức và bài tập áp dụng – Simple Present

• Đánh giá “hạnh kiểm” học sinh như thế nào?