7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

• a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) = (a – b)³ + 3a²b – 3ab² = (a – b)³ + 3ab(a – b)
• Ghi nhớ: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đây là các hệ thức liên quan được biến đổi từ 7 hằng đẳng thức cơ bản trên.

Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 2

• (a – b – c)² = a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
• (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac

Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 3

• a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)
• a³ – b³ = (a – b)^{3 +} 3ab(a – b)
• (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c)
• a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac)
• (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)
• (a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c(a – b)²
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

• aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 – a^n-2 b + a^n-3 b_² – a^n-4 b³ + … + a²b^n-3 – ab^n-2 + b^n-1)
• a^{n –} bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2 b + a^n-3 b_² + a^n-4 b³ + … + a²b^n-3 + ab^n-2 + b^n-1)
• Với n là số lẻ thuộc N (tập hợp số tự nhiên)

Nhị thức Newton

Với a,b thuộc tập hợp số thực (R), n thuộc tập hợp số tự nhiên dương (N*)

Trong những hằng đẳng thức này, 1 bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc lũy thừa. Những đẳng thức này luôn được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia đa thức, biến đổi biểu thức tại từ cấp 2 đến cấp 3 và 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được in trong sách giáo khoa và được in rất nhiều trong bìa sau của vở viết cấp II hoặc cấp III của học sinh.

Mẹo nhớ các hằng đẳng thức

Nếu để ý, ta có thể nhận thấy rằng, các hằng đẳng thức: Bình phương của 1 tổng và 1 hiệu; Lập phương của 1 tổng và 1 hiệu; Tổng và Hiệu 2 lập phương đều khá tương tự nhau, chỉ khác nhau ở dấu. Vì vậy điều cần lưu ý ở đây chính là ghi nhớ dấu của chúng, từ đó ta có thể học thuộc một cách chính xác và không bị nhầm lẫn.

Đối với hằng đẳng thức Lập phương của 1 hiệu và Tổng 2 lập phương thì cần lưu ý đó chính là:

• “ Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng”
• “Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu”