4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội
Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thì Timgiasuhanoi.com chỉ nêu ra 4 phương pháp dưới đây.
Đó là các phương pháp: Đánh giá, đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và điều kiện cần và đủ.
Chú ý: Đây là các phương pháp chung nhất để giải phương trình vô tỷ ở cấp 2. Và chúng ta áp dụng cách giải qua các ví dụ cho mỗi phương pháp.
1. Phương pháp đánh giá
Ví dụ: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}$ = 4 – 2x – x2 (*)
Giải:
Ta nhận thấy:
Vế trái:
VT = $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}$
VT = $ \displaystyle \sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}$ + $ \displaystyle \sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}$ = 5
Vế phải:
VP = 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.
Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm khi và chỉ khi VT = VP = 5.
⇔ x+ 1 = 0 ⇔ x = -1.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=3$
Giải:
Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 8
Đặt $ \displaystyle t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}$ (với t ≥ 0)
⇒ $ \displaystyle t_{{}}^{2}=1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}$
⇒ $ \displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}=\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}$
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
$ \displaystyle t+\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}=3$
⇔ $ \displaystyle t_{{}}^{2}+2t-15=0$
⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=-5\\t=3\end{array} \right.$
Loại t = -5 do < 0
Với t = 3 ta có: $ \displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}$ = 3
⇔ $ \displaystyle 1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}$ = 9
⇔ $ \displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}$ = 0
⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=8\end{array} \right.$ (thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 8)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x1 = -1 và x2 = 8
*Cách khác: Các em tự giải
3. Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp biến đổi tương đương được áp dụng cho 2 dạng phương trình vô tỷ:
Dạng 1: $ \displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g_{{}}^{2}(x)\end{array} \right.$
Dạng 2: $ \displaystyle \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g(x)\end{array} \right.$
4. Phương pháp điều kiện cần và đủ
VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$ \displaystyle \sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=m$
Giải: Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm x0 thì (-1 – x0 ) cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì:
x0 = -1 – x0 ⇔ $ \displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$
Thay $ \displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta được: $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$
Điều kiện đủ:
Với $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$ phương trình đã cho trở thành:
Vậy với $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.