4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trung tâm Gia sư Hà Nội

Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thì Timgiasuhanoi.com chỉ nêu ra 4 phương pháp dưới đây.

Đó là các phương pháp: Đánh giá, đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và điều kiện cần và đủ.
Chú ý: Đây là các phương pháp chung nhất để giải phương trình vô tỷ ở cấp 2. Và chúng ta áp dụng cách giải qua các ví dụ cho mỗi phương pháp.

1. Phương pháp đánh giá

Ví dụ: Giải phương trình: ${\displaystyle \sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}}$ = 4 – 2x – x2         (*)
Giải:
Ta nhận thấy:
Vế trái:
VT = ${\displaystyle \sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}}$
VT = ${\displaystyle \sqrt{3{(x+1)}^2+4}}$ + ${\displaystyle \sqrt{5{(x+1)}^2+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}}$ = 5
Vế phải:
VP = 4 – 2x –x² = 5 – (x+1)² ≤ 5.
Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm khi và chỉ khi VT = VP = 5.
⇔ x+ 1 = 0 ⇔ x = -1.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình: ${\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=3}$
Giải:
Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 8
Đặt ${\displaystyle t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}}$ (với t ≥ 0)
⇒ ${\displaystyle t_{}^2=1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}}$
⇒ ${\displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}=\frac{t_{}^2-9}{2}}$
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
${\displaystyle t+\frac{t_{}^2-9}{2}=3}$
⇔ ${\displaystyle t_{}^2+2t-15=0}$
⇔ ${\displaystyle [\begin{array}{l}t=-5\\ t=3\end{array}}$
Loại t = -5 do < 0
Với t = 3 ta có: ${\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}}$ = 3
⇔ ${\displaystyle 1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}}$ = 9
⇔ ${\displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}}$ = 0
⇔  ${\displaystyle [\begin{array}{l}x=-1\\ x=8\end{array}}$ (thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 8)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x₁ = -1 và x₂ = 8
*Cách khác: Các em tự giải

3. Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương được áp dụng cho 2 dạng phương trình vô tỷ:
Dạng 1: ${\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\iff \{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)=g_{}^2(x)\end{array}}$
Dạng 2: ${\displaystyle \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\iff \{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)=g(x)\end{array}}$

4. Phương pháp điều kiện cần và đủ

VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
${\displaystyle \sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=m}$
Giải: Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm x₀ thì (-1 – x₀ ) cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì:
x₀ = -1 – x₀ ⇔ ${\displaystyle x_0=-\frac{1}{2}}$
Thay ${\displaystyle x_0=-\frac{1}{2}}$ vào phương trình đã cho ta được: ${\displaystyle m=3\sqrt{2}}$
Điều kiện đủ:
Với ${\displaystyle m=3\sqrt{2}}$ phương trình đã cho trở thành:

Vậy với ${\displaystyle m=3\sqrt{2}}$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

• Các dạng toán Đại số thường gặp trong đề thi vào 10

• Ôn tập Hình học thi vào cấp 3 (lớp 10)

• Bất đẳng thức, tìm giá trị min-max của biểu thức

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

• Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số

• Chuyên đề hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b ôn thi vào lớp 10