Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau

Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA. chứng minh : c) AC = BN. b) AB // NC

Giải.

a) AC = BN :
Xét ΔACM và ΔNBM, ta có : Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-1

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{NMB}$ (đối đỉnh).

MA = MN (gt).

=> ΔACM = ΔNBM (c -g -c)
=> AC = BN b) BC vuông góc DE :
Xét ΔABM và ΔNCM, ta có :

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMB}=\widehat{NMC}$ (đối đỉnh).

MA = MN (gt).

=> ΔABM = ΔNCM (c -g -c)
=> $\widehat{BAM}=\widehat{CNM}$
Mà : $\widehat{BAM}; \widehat{CNM}$ ở vị trí so le trong. => AB // NC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = AB.chứng minh : BC vuông góc DE.

Giải.

Xét ΔABD và ΔEBD, ta có :

BE = AB (gt)

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (BD là phân giác góc B).

BD cạnh chung.

=> ΔABD = ΔEBD (c -g -c)
=> $\widehat{BAD}=\widehat{BED}$
Mà : $\widehat{BAD}=90^0$ (gt)
=> $\widehat{BED}=90^0$ Hay BC vuông góc DE.
Bài 3: Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.

Giải.

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

DB = DA (D là trung điểm của AB)

$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (đối đỉnh).

DC = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)
=> $\widehat{C_1}=\widehat{M}$ và BC = AM.
Mà : $\widehat{C_1}; \widehat{M}$ ở vị trí so le trong. => BC // AM.
Cmtt, ta được : BC // AN và BC = AN.
ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)
=> A, M. N thẳng hàng. (1)
BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).
Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (góc – cạnh – góc)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm AC. Từ A vẽ đường thẳng song song BC cắt BD tại E. trên cạnh BC lấy M, đường thẳng DM cắt AE tại N Chứng minh :

AE = BC.
D là trung điểm MN.
AB // EC

Giải.

1) AE = BC :
Xét ΔADE và ΔCDB, ta có :

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (so le trong).

DA = DC (D là trung điểm AC)

$\widehat{ADE}=\widehat{CDB}$ (đối đỉnh).

=> ΔADE = ΔCDB (g – c – g)
=> AE = BC.
2) D là trung điểm MN :
Xét ΔNDE và ΔMDB, ta có :

$\widehat{E_1}=\widehat{B_1}$ (so le trong).

DE = DB (ΔADE = ΔCDB)

$\widehat{EDE}=\widehat{MDB}$ (đối đỉnh).

=> ΔADE = ΔCDB (g – c – g)
=> DM = DN
Hay D là trung điểm MN.
3) AB // EC :
Xét ΔADB và ΔCDE, ta có :

DA = DC (D là trung điểm AC)

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$ (đối đỉnh).

DE = DB (ΔADE = ΔCDB)

=> ΔADE = ΔCDB (c – g – c)
=> $\widehat{BAD}=\widehat{DCE}$
Mà : $\widehat{BAD};\widehat{DCE}$ ở vị trí so le trong.
=> AB // EC.

Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh)

Bài 1:

Cho tam giác ABC có AB =AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc BC.

Giải.

Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :

AB =AC (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

AM cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)
=> $\widehat{AMB} =\widehat{AMC}$
Mà : $\widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^0$ (hai góc kề bù)
=> $\widehat{AMB} =\widehat{AMC}=90^0$
Hay AM $\bot$ BC.
Bài 2:
Cho tam giác ABC có AB =AC, trong tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = MC . Chứng minh rằng AM là phân giác của $\widehat{BAC}$ .

Giải.

Xét ΔABM và ΔACM , có :

AB = AC (gt)

AM = BM (gt)

AM cạnh chung.

=> ΔABM = ΔACM (c – c – c)
=> $\widehat{A_1} =\widehat{A_2}$ (góc tương ứng)
VẬY : AM là phân giác của $\widehat{BAC}$

Bài 3:
Cho tam giác ABC có AB =AC. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh :

AM là đường trung trực của BC.
kẽ đường phân giác Ax của góc ngoài A. chứng minh : Ax // BC

Giải.

Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :

AB =AC (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

AM cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)
=> $\widehat{AMB} =\widehat{AMC}$
Mà : $\widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^0$ (hai góc kề bù)
=> $\widehat{AMB} =\widehat{AMC}=90^0$

Hay AM $\bot$ BC tại M.

mà : M là trung điểm của BC (gt)

vậy : AM là đường trung trực của BC
2. Ax // BC
ta có : $\widehat{A_1} =\widehat{A_2}$ (góc tương ứng của ΔAMB = ΔAMC)
=>AM đường phân giác của góc A.

=> $\widehat{A_2} =\widehat{BAC}:2$

mà : $\widehat{A_3} =\widehat{CAy}:2$ (đường phân giác Ax của góc ngoài A )

nên : $\widehat{A_2}+ \widehat{A_3}=\widehat{BAC}:2 +\widehat{CAy}:2$
mà : $\widehat{BAC} +\widehat{CAy}=180^0$

=> $\widehat{A_2}+ \widehat{A_3}=180^0:2=90^0$

hay : AM $\bot$ Ax.
mà :AM $\bot$ BC (cmt)
vậy : Ax // BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H trên nửa mặt phẳng BCA không chứa điểm B. Vẽ tam giác ACD sao cho AD = BC , CD = AB . Chứng minh:
a, AB // CD
b, AH vuông góc với AD

Giải.

a) cm : AB // DC
Xét ΔABC và ΔCDA , ta có :
AB = CD(gt)
BC = AD (gt)
AC cạnh chung.
=> ΔABC = ΔCDA (c – c – c)
=> $\widehat{BAC} =\widehat{ACD}$ (góc tương ứng)
=> AB // DC ( $\widehat{BAC} ; \widehat{ACD}$ so lo trong)
b) AH vuông góc với AD
Ta có :
cmtt, ta được : AD // BC
mà : AH ⊥ BC (gt)
=> AH ⊥ AD