Ứng dụng vetơ chứng minh hai điểm trùng nhau

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng minh hai điểm $ {{A}_{1}}$ và $ {{A}_{2}}$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:

– Hướng 1:  Chứng minh $ \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{0}$.

– Hướng 2:  Chứng minh $ \overrightarrow{O{{A}_{1}}}=\overrightarrow{O{{A}_{2}}}$ với O là điểm tùy ý.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Giải

Gọi $ {{G}_{1}},{{G}_{2}}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý.

Ta có:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{O{{G}_{1}}}\\\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ}=3\overrightarrow{O{{G}_{2}}}\end{array} \right.$

Mặt khác:

$ \begin{array}{l}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O\text{D}})\\\end{array}$

$ =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\text{D}})$            (2)

$ \begin{array}{l}\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O\text{D}})\\\end{array}$

$ =\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\text{D}})$              (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:          $ \overrightarrow{O{{G}_{1}}}=\overrightarrow{O{{G}_{2}}}$

Vậy $ {{G}_{1}}$ và $ {{G}_{2}}$ trùng nhau.

 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

  1. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
  2. Cho lục giác ABCDEF có $ AB\bot \text{EF}$ và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. CMR: AB²+EF²=CD².
Hình học, Tin tức - Tags: , ,