1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh đường thẳng song song với ta đi chứng minh và điểm không thuộc đường thẳng
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:
+ Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định.
+ Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho ngũ giác Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , Gọi , lần lượt là trung điểm của các đoạn và Chứng minh rằng song song với

Ta có:
Suy ra song song với
Ví dụ 2: Cho tam giác Các điểm , , thuộc các đường thẳng , , thỏa mãn , thì , , đồng quy tại , với là điểm được xác định bởi
Ta có
Suy ra , , thẳng hàng hay đi qua điểm cố định
Tương tự ta có , đi qua
Vậy ba đường thẳng , , đồng quy.
Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau, các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.
Định hướng: Giả sử sáu điểm đó là , , , , ,
Ta cần chứng minh tồn tại một điểm cố định sao cho với các cách chọn khác nhau thì thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và . Nếu là tam giác thì là tam giác Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác
thuộc đường thẳng khi có số thực sao cho
Vì vai trò của các điểm , , , , , trong bài toán bình đẳng nên chọn sao cho khi đó
Lời giải: Gọi là trọng tâm sáu điểm , , , , , khi đó:
Giả sử , lần lượt là trọng tâm của hai tam giác , suy ra:
,
Suy ra:
Do đó đi qua điểm cố định , do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tứ giác , gọi , lần lượt là trọng tâm của các tam giác và tam giác Chứng minh rằng hai đường thẳng và song song với nhau.
Ta có và
Trừ vế với vế ta được:
Suy ra
Bài 2: Trên các cạnh , , của tam giác lần lượt lấy các điểm , , sao cho Trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , , sao cho Chứng minh rằng tam giác có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác
, vì và nên
Tương tự ta có và
Bài 3: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.
Giả sử năm điểm đó là , , , , nằm trên đường tròn Ta cần chứng minh tồn tại điểm thuộc mười đường thẳng đó.
Gọi là trọng tâm của tam giác , là trung điểm của đoạn thẳng Vì (do ) nên điểm thuộc đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng khi có số thực sao cho Mà (vì là trọng tâm của tam giác ). (vì là trung điểm của đoạn thẳng ).
Do đó
Hay
Vì các điểm , , , , trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn sao cho
Khi đó
Hay ( là trọng tâm của hệ điểm ).
Bài 4: Cho tứ giác nội tiếp đường tròn Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , Kẻ , , , lần lượt vuông góc với , , , Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng , , , đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm , ( là giao điểm của và ).
Ta cần chứng minh tồn tại điểm thuộc đường thẳng , , ,
Vì (do ) nên điểm thuộc đường thẳng khi có số thực sao cho
Mà và lần lượt là trung điểm của và nên:
,
Do đó hay
Vì các điểm , , , trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn
Khi đó
Hay (dễ thấy là trọng tâm của tứ giác )
Vậy là điểm đối xứng của qua
Bài 5: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau, các đường thẳng nối trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi , , là ba đỉnh của tam giác và là đoạn thẳng Gọi là trọng tâm tam giác và là trung điểm của , thì với điểm tùy ý ta có:
Do đó luôn đi qua điểm cố định là trọng tâm hệ điểm , , , ,
Bài 6: Cho tam giác Ba đường thẳng , , lần lượt đi qua , , và chúng chia đôi chu vi tam giác Chứng minh rằng , , đồng quy.
Đặt , ,
Giả sử đường thẳng đi qua cắt tại khi đó ta có:
Suy ra ,
Do đó:
Tương tự ta có:
Do đó , , đồng quy tại được xác định bởi:
Bài 7: Cho tam giác , các đường tròn bàng tiếp góc , , tương ứng tiếp xúc với các cạnh , , tại , , Chứng minh , , cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó.
Giả sử đường tròn bàng tiếp góc tiếp xúc tại
Gọi , là tiếp điểm của cạnh , với đường tròn bàng tiếp góc
Khi đó
Bạn đọc tự giải tiếp.
Bài 8: Cho tứ giác Gọi , , , là trung điểm các cạnh , , ,
a) Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng
b) Gọi , , , lần lượt là trọng tâm các tam giác , , , Chứng minh rằng các đường thẳng , , , đồng quy tại điểm
a) Ta có:
b) ,
, cùng phương hay đi qua
Tương tự ta có đi qua , đi qua , đi qua
Vậy ta có , , , đồng quy tại
Bài 9: Cho tam giác có trọng tâm , là một điểm tùy ý. Gọi , , lần lượt là các điểm đối xứng với qua các trung điểm , , của các cạnh , , Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng , , đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
b) , , thẳng hàng và
a) Gọi là trung điểm
(vì hình bình hành).
hay là trung điểm
Tương tự ta có hay là trung điểm
Vậy , , đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
b) Ta có:
, , thẳng hàng và
Bài 10: Cho tam giác Gọi , , là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh , , Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với , là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với , là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với Chứng minh rằng , và đồng quy.
Đặt , ,
Gọi , , lần lượt là trung điểm của , ,
là điểm được xác định
Suy ra
Suy ra , tương tự ta có ,
Suy ra , và đồng quy tại
Bài 11: Cho hai hình bình hành và sắp xếp sao cho thuộc cạnh , thuộc cạnh Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy.
Đặt ,
Gọi là giao điểm và
Ta có ,
Do đó
Suy ra
Suy ra , , thẳng hàng, suy ra điều phải chứng minh.
Toán lớp 10 - Tags: đồng quy, đường thẳng, song song, vectơ