Ứng dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng song song, 3 đường thẳng đồng quy – Toán lớp 10

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh AB=kCD và điểm A không thuộc đường thẳng CD.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:
+ Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định.
+ Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MPNQ. Chứng minh rằng IJ song song với AE.

Ứng dụng vectơ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đi qua điểm cố định - Toán lớp 10

Ta có: 2IJ=IQ+IN =IM+MQ+IP+PN.
=MQ+PN =12(AE+BD)+12DB =12AE.
Suy ra IJ song song với AE.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn α+β+γ0, βMB+γMC =γNC+αNA =αPA+βPB=0 thì AM, BN, CP đồng quy tại O, với O là điểm được xác định bởi αOA+βOB+γOC=0.

Ta có βMB+γMC=0 β(MO+OB) +γ(MO+OC)=0.
αOA+βOB+γOC +(β+γ)MO=αOA.
(β+γ)MO=αOA.
Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O.
Tương tự ta có BN, CP đi qua O.
Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy.

Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Δ là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và Δ là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn Δ khác nhau, các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ΔΔ đồng quy.

Định hướng: Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F.
Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn Δ khác nhau thì H thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ΔΔ. Nếu Δ là tam giác ABC thì Δ là tam giác DEF. Gọi GG lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.
H thuộc đường thẳng GG khi có số thực k sao cho HG=kHG.
13(HA+HB+HC) =k3(HD+HE+HF).
13HA+13HB+13HC k3HDk3HEk3HF=0.
Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho k3=13k=1 khi đó HA+HB+HC+HD+HE+HF=0.
Lời giải: Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó:
HA+HB+HC+HD+HE+HF=0 ().
Giả sử G, G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, DEF suy ra:
GA+GB+GC=0, GD+GE+GF=0.
Suy ra: ()3HG+GA+GB+GC =3HG+GD+GE+GF.
HG=HG
Do đó GG đi qua điểm cố định H, do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ΔΔ đồng quy.

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KLAD song song với nhau.

Ta có KA+KB+KC=0LB+LC+LD=0.
Trừ vế với vế ta được:
KALD+2KL=0 (KL+LA)LD+2KL=0 DA+3KL=0.
Suy ra KL//AD.

Bài 2: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho A1BA1C=B1CB1A=C1AC1B=k (k>0). Trên các cạnh B1C1, C1A1, A1B1 lần lượt lấy các điểm A2, B2, C2 sao cho A2B1A2C1=B2C1B2A1=C2A1C2B1=1k. Chứng minh rằng tam giác A2B2C2 có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác ABC.

A2C2=k2k+1(k+1)2AC, vì k2k+1>0A2AC nên A2C2//AC.
Tương tự ta có B2C2//BCA2B2//AB.

Bài 3: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.

Giả sử năm điểm đó là A1, A2, A3, A4, A5 nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó.
Gọi G là trọng tâm của tam giác A1A2A3, P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5.OPA4A5 (do OA4=OA5) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng A4A5 khi có số thực k sao cho HG=kOP.OG=13(OA1+OA2+OA3) (vì G là trọng tâm của tam giác A1A2A3). OP=12(OA4+OA5) (vì P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5).
Do đó HG=kOP OGOH=kOP.
Hay 13(OA1+OA2+OA3)OH =k2(OA4+OA5).
OH=13OA1+13OA2 +13OA3k2OA4k2OA5.
Vì các điểm A1, A2, A3, A4, A5 trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho k2=13k=23.
Khi đó OH=13(OA1+OA2+OA3+OA4+OA5).
Hay OH=53OG (G là trọng tâm của hệ điểm {A1,A2,A3,A4,A5}).

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM, NN, PP, QQ lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM, NN, PP, QQ đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MPNQ).

Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM, NN, PP, QQ.
OPCD (do OC=OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM khi có số thực k sao cho HM=kOP.
MP lần lượt là trung điểm của ABCD nên:
HM=12(HA+HB), OP=12(OC+OD).
Do đó HM=kOP hay 12(HA+HB)=k2(OC+OD).
HO+OA+HO+OB =k(OC+OD) 2OH=OA+OBkOCkOD.
Vì các điểm A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k=1.
Khi đó 2OH=OA+OB+OC+OD.
Hay 2OH=4OI (dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD) OH=2OI.
Vậy H là điểm đối xứng của O qua I.

Bài 5: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Δ là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng θ. Chứng minh rằng với các cách chọn Δ khác nhau, các đường thẳng nối trọng tâm tam giác Δ và trung điểm đoạn thẳng θ luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác ΔDE là đoạn thẳng θ. Gọi G là trọng tâm tam giác ΔM là trung điểm của DE, thì với điểm O tùy ý ta có: OA+OB+OC+OD+OE =3OG+2IM.
Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi chu vi tam giác ABC. Chứng minh rằng x, y, z đồng quy.

Đặt BC=a, CA=b, AB=c.
Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có:
AB+BM=AC+MC c+BM=b+MC c+2BM=b+(BM+MC).
Suy ra BM=a+bc2, CM=ab+c2.
Do đó: (a+cb)MB+(a+bc)MC=0.
Tương tự ta có:
(a+bc)NC+(b+ca)NA =(b+ca)PA+(a+cb)PB=0.
Do đó x, y, z đồng quy tại I được xác định bởi:
(b+ca)IA +(a+cb)IB +(a+bc)IC=0.

Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó.

Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M.
Gọi B, C là tiếp điểm của cạnh AB, AC với đường tròn bàng tiếp góc A.
Khi đó AB=AC AB+BB=AC+CC c+BM=c+CM.
Bạn đọc tự giải tiếp.

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Gọi G là giao điểm của MPNQ. Chứng minh rằng GA+GB+GC+GD=0.
b) Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy tại điểm G.

a) Ta có: GA+GB+GC+GD =2GM+MA+MB+2GP+PC+PD =2(GM+GP) +(MA+MB) +(PC+PD)=0.
b) 3AA1=AB+AC+AD, 4AG=AB+AC+AD AA1=43AG.
AA1, AG cùng phương hay AA1 đi qua G.
Tương tự ta có BB1 đi qua G, CC1 đi qua G, DD1 đi qua G.
Vậy ta có AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy tại G.

Bài 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.
b) M, G, O thẳng hàng và MOMG=32.

a) Gọi O là trung điểm CC1.
AA1=AM+MA1 =AM+MB+MC =AC+MB.
2AO=AC+AC1 =AC+MB (vì AC1BM hình bình hành).
AA1=2AO hay O là trung điểm AA1.
Tương tự ta có BB1=2BO hay O là trung điểm BB1.
Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.
b) Ta có: 3MG=MA+MB+MC.
2MO=MA+MA1 =MA+MB+MC 2MO=3MG.
M, G, O thẳng hàng và MOMG=32.

Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA, AB. Gọi Δa là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc với BC, Δb là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, Δc là đường thẳng đi qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng Δa, ΔbΔc đồng quy.

Đặt IM=e1, IN=e2, IP=e3.
Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.
O là điểm được xác định 2IO=e1+e2+e3.
Suy ra OX=OI+IX =12(e1+e2+e3) +12(e2+e3) =12e1.
Suy ra OXBC, tương tự ta có OYAC, OZAB.
Suy ra Δa, ΔbΔc đồng quy tại O.

Bài 11: Cho hai hình bình hành ABCDABCD sắp xếp sao cho B thuộc cạnh AB, D thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng DB, CC, BD đồng quy.

Đặt ABAB=m, ADAD=n (0<m,n<1).
Gọi I là giao điểm BDDB.
Ta có AC=AB+AD, AC=AB+AD =mAB+nAD.
ADAD=n DA=nn1DD BD=BAnn1BD1nn1 =1n1mBB+nBD.
1n1mIB+nID=0 IB=n(m1)1nID.
AI=AB+n(m1)n1AD1+n(m1)n1 =m(n1)AB+n(m1)ADmn1.
Do đó IC=ACAI =1mn1((m1)AB+(n1)AD).
CC=ACAC =(1m)AB+(1n)AD.
Suy ra IC=1mn1CC.
Suy ra I, C, C thẳng hàng, suy ra điều phải chứng minh.

Toán lớp 10 - Tags: , , ,