Ứng dụng vectơ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đi qua điểm cố định – Toán lớp 10

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+ Để chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .$

+ Để chứng minh đường thẳng $AB$ đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm $A$, $B$, $H$ thẳng hàng với $H$ là một điểm cố định.

2. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Chứng minh rằng $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi có hai số thực $\alpha $, $\beta $ có tổng bằng $1$ sao cho: $\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} .$

Nếu $A$, $B$, $M$ thẳng hàng $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OM} = k(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ).$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = (1 – k)\overrightarrow {OA} + k\overrightarrow {OB} .$

Đặt $\alpha = 1 – k$, $\beta = k$ $ \Rightarrow \alpha + \beta = 1$ và $\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} .$

Nếu $\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} $ với $\alpha + \beta = 1$ $ \Rightarrow \beta = 1 – \alpha .$

$ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + (1 – \alpha )\overrightarrow {OB} $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OM} – \overrightarrow {OB} = \alpha (\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} )$ $ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \alpha \overrightarrow {BA} .$
Suy ra $M$, $A$, $B$ thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho góc $xOy.$ Các điểm $A$, $B$ thay đổi lần lượt nằm trên $Ox$, $Oy$ sao cho $OA + 2OB = 3.$ Chứng minh rằng trung điểm $I$ của $AB$ thuộc một đường thẳng cố định.

Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm $I$ là $\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} $ $(*).$

Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định $A’$, $B’$ sao cho $\overrightarrow {OI} = \alpha \overrightarrow {OA’} + \beta \overrightarrow {OB’} $ với $\alpha + \beta = 1.$

Do đó từ hệ thức $(*)$ ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định $A’$, $B’$ lần lượt trên $Ox$, $Oy.$

Ta có: $(*) \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{{OA}}{{2OA’}}\overrightarrow {OA’} + \frac{{OB}}{{2OB’}}\overrightarrow {OB’} .$ Từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho $\frac{{OA}}{{2OA’}} + \frac{{OB}}{{2OB’}} = 1.$ Kết hợp với giả thiết $OA + 2OB = 3$ ta chọn được điểm $A’$ và $B’$ sao cho $OA’ = \frac{3}{2}$, $OB’ = \frac{3}{4}.$

Lời giải: Trên $Ox$, $Oy$ lần lượt lấy hai điểm $A’$, $B’$ sao cho $OA’ = \frac{3}{2}$, $OB’ = \frac{3}{4}.$

Do $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} $ $ = \frac{{OA}}{{2OA’}}\overrightarrow {OA’} + \frac{{OB}}{{2OB’}}\overrightarrow {OB’} .$

Ta có: $\frac{{OA}}{{2OA’}} + \frac{{OB}}{{2OB’}}$ $ = \frac{{OA}}{{2.\frac{3}{2}}} + \frac{{OB}}{{2.\frac{3}{4}}}$ $ = \frac{1}{3}(OA + 2OB) = 1.$

Do đó điểm $I$ thuộc đường thẳng $A’B’$ cố định.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD$, $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $E$ là điểm thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}.$ Chứng minh ba điểm $D$, $E$, $I$ thẳng hàng.

Định hướng: Để chứng minh $D$, $E$, $I$ thẳng hàng ta đi tìm số $k$ sao cho $\overrightarrow {DE} = k\overrightarrow {DI} $, muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ $\overrightarrow {DE} $, $\overrightarrow {DI} $ qua hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AD} $ và sử dụng nhận xét: $m\vec a + n\vec b = \vec 0$ $ \Leftrightarrow m = n = 0$ với $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ là hai vectơ không cùng phương, từ đó tìm được $k = \frac{2}{3}.$

Ứng dụng vectơ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đi qua điểm cố định - Toán lớp 10

Lời giải: Ta có $\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CI} $ $ = \overrightarrow {DC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} $ $ = \overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} $ $(1).$

Mặt khác theo giả thiết ta có $\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ suy ra:

$\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} $ $ = \overrightarrow {DA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ $ = – \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )$

$ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} $ $(2).$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\overrightarrow {DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DI} .$

Vậy ba điểm $D$, $E$, $I$ thẳng hàng.

Ví dụ 4: Hai điểm $M$, $N$ chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định $BC$ và $BD$ $(M \ne B,N \ne B)$ sao cho $2\frac{{BC}}{{BM}} + 3\frac{{BD}}{{BN}} = 10.$ Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Dễ thấy luôn tồn tại điểm $I$ thuộc $MN$ sao cho $2\frac{{BC}}{{BM}}\overrightarrow {IM} + 3\frac{{BD}}{{BN}}\overrightarrow {IN} = \vec 0$ $(1).$

Gọi $H$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {HC} + 3\overrightarrow {HD} = \vec 0$ $(2)$, do đó $H$ cố định.

Ta có $(2) \Leftrightarrow 5\overrightarrow {HB} + 2\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {BD} = \vec 0.$

$ \Leftrightarrow \frac{{2BC}}{{BM}}\overrightarrow {BM} + \frac{{3BD}}{{BN}}\overrightarrow {BN} = 5\overrightarrow {BH} .$

$ \Leftrightarrow \frac{{2BC}}{{BM}}(\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IM} ) + \frac{{3BD}}{{BN}}(\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IN} ) = 5\overrightarrow {BH} .$

$ \Leftrightarrow \left( {2\frac{{BC}}{{BM}} + 3\frac{{BD}}{{BN}}} \right)\overrightarrow {BI} = 5\overrightarrow {BH} $ (theo $(1)$).

$ \Leftrightarrow 10\overrightarrow {BI} = 5\overrightarrow {BH} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BH} $ $(3).$

Do các điểm $B$, $H$ cố định, nên điểm $I$ cố định (xác định bởi hệ thức $(3)$).

Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song $A{A_1}$, $B{B_1}$, $C{C_1}$ của đường tròn $(O).$ Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác $AB{C_1}$, $BC{A_1}$, $CA{B_1}$ nằm trên một đường thẳng.

Gọi ${H_1}$, ${H_2}$, ${H_3}$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $AB{C_1}$, $BC{A_1}$, $CA{B_1}.$
Ta có: $\overrightarrow {O{H_1}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{C_1}} $, $\overrightarrow {O{H_2}} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{A_1}} $ và

$\overrightarrow {O{H_3}} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {O{B_1}} .$

Suy ra $\overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \overrightarrow {O{H_2}} – \overrightarrow {O{H_1}} $ $ = \overrightarrow {OC} – \overrightarrow {O{C_1}} + \overrightarrow {O{A_1}} – \overrightarrow {OA} $ $ = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {A{A_1}} .$

$\overrightarrow {{H_1}{H_3}} = \overrightarrow {O{H_3}} – \overrightarrow {O{H_1}} $ $ = \overrightarrow {OC} – \overrightarrow {O{C_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} – \overrightarrow {OB} $ $ = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {B{B_1}} .$

Vì các dây cung $A{A_1}$, $B{B_1}$, $C{C_1}$ song song với nhau.

Nên ba vectơ $\overrightarrow {A{A_1}} $, $\overrightarrow {B{B_1}} $, $\overrightarrow {C{C_1}} $ có cùng phương.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {{H_1}{H_2}} $ và $\overrightarrow {{H_1}{H_3}} $ cùng phương hay ba điểm ${H_1}$, ${H_2}$, ${H_3}$ thẳng hàng.

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $AB$, $N$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AM = \frac{1}{3}AB$, $AN = \frac{3}{4}AC.$ Gọi $O$ là giao điểm của $CM$ và $BN.$ Trên đường thẳng $BC$ lấy $E.$ Đặt $\overrightarrow {BE} = x\overrightarrow {BC} .$ Tìm $x$ để $A$, $O$, $E$ thẳng hàng.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {AO} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .$,

$\overrightarrow {AE} = (1 – x)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} .$

$A$, $E$, $O$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AO} .$

$ \Leftrightarrow (1 – x)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} $ $ = \frac{k}{9}\overrightarrow {AB} + \frac{k}{4}\overrightarrow {AC} $ $ \Leftrightarrow k = \frac{{36}}{{13}}$, $x = \frac{9}{{13}}.$

Vậy $x = \frac{9}{{13}}$ là giá trị cần tìm.

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ lấy các điểm $I$, $J$ thoả mãn $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} $, $3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$ Chứng minh rằng $IJ$ đi qua trọng tâm $G$ của $\Delta ABC.$

Giải:

$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} = \vec 0.$

$3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IC} = 5\overrightarrow {IJ} .$

Suy ra $2(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} ) = 5\overrightarrow {IJ} $ $ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IG} = 5\overrightarrow {IJ} $ $ \Leftrightarrow I$, $J$, $G$ thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác $ABC.$ Hai điểm $M$, $N$ di động thỏa mãn:

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .$

a) Chứng minh rằng $MN$ đi qua điểm cố định.

b) $P$ là trung điểm của $AM.$ Chứng minh rằng $MP$ đi qua điểm cố định.

Giải:

a) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra:

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + 3\overrightarrow {MG} $ $ = 3\overrightarrow {MG} .$

Suy ra $M$, $N$, $G$ thẳng hàng hay $MN$ đi qua điểm cố định $G.$

b) $P$ là trung điểm $AM$ $ \Rightarrow \overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MN} )$ $ = \frac{1}{2}(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ).$

Gọi $I$ là trung điểm $BC$, $J$ là trung điểm $AI$ suy ra $2\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \vec 0.$

Do đó $\overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MJ} $ suy ra $MP$ đi qua điểm cố định $J.$

Bài 4: Cho hai điểm $M$, $P$ là hai điểm di động thỏa mãn:
$\overrightarrow {MP} = a\overrightarrow {MA} + b\overrightarrow {MB} + c\overrightarrow {MC} .$

Chứng minh rằng $MP$ đi qua điểm cố định.

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ suy ra $a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \vec 0.$

Do đó $\overrightarrow {MP} = a\overrightarrow {MA} + b\overrightarrow {MB} + c\overrightarrow {MC} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} = (a + b + c)\overrightarrow {MI} .$
Vậy $MP$ đi qua điểm cố định $I.$

Bài 5: Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua điểm $A$, $F$ là điểm đối xứng của tâm $O$ của hình bình hành qua điểm $C$ và $K$ là trung điểm của đoạn $OB.$ Chứng minh ba điểm $E$, $K$, $F$ thẳng hàng và $K$ là trung điểm của $EF.$

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {EF} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {EK} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} .$

$ \Rightarrow \overrightarrow {EF} = 2\overrightarrow {EK} .$

Vì vậy $K$ là trung điểm $EF.$

Bài 6: Cho hai tam giác $ABC$ và ${A_1}{B_1}{C_1}$, ${A_2}$, ${B_2}$, ${C_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BC{A_1}$, $CA{B_1}$, $AB{C_1}.$ Gọi $G$, ${G_1}$, ${G_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, ${A_1}{B_1}{C_1}$, ${A_2}{B_2}{C_2}.$ Chứng minh rằng $G$, ${G_1}$, ${G_2}$ thẳng hàng và tính $\frac{{G{G_1}}}{{G{G_2}}}.$

Giải:

Vì $G$, ${G_1}$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ${A_1}{B_1}{C_1}$ suy ra:

$3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} + \overrightarrow {G{C_1}} .$

$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} $ $ + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} .$

$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} .$

Tương tự $G$, ${G_2}$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ${A_2}{B_2}{C_2}$ suy ra:

$3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} + \overrightarrow {G{C_1}} $

$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {G{G_2}} = \overrightarrow {A{A_2}} + \overrightarrow {B{B_2}} + \overrightarrow {C{C_2}} .$

Mặt khác $\overrightarrow {A{A_2}} + \overrightarrow {B{B_2}} + \overrightarrow {C{C_2}} $ $ = \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} $ $ + \overrightarrow {{A_1}{A_2}} + \overrightarrow {{B_1}{B_2}} + \overrightarrow {{C_1}{C_2}} .$

Mà ${A_2}$, ${B_2}$, ${C_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BC{A_1}$, $CA{B_1}$, $AB{C_1}.$

Suy ra $3(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} + \overrightarrow {{B_1}{B_2}} + \overrightarrow {{C_1}{C_2}} )$ $ = 3(\overrightarrow {{A_1}B} + \overrightarrow {{A_1}C} + \overrightarrow {{B_1}C} + \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {{C_1}A} + \overrightarrow {{C_1}B} ).$

$ = 6(\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} ).$

Do đó $\overrightarrow {A{A_2}} + \overrightarrow {B{B_2}} + \overrightarrow {C{C_2}} $ $ = 3(\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} )$ $ \Rightarrow \overrightarrow {G{G_2}} = \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} .$

Vậy $\overrightarrow {G{G_2}} = 3\overrightarrow {G{G_1}} .$

Bài 7: Cho tam giác $ABC.$ Các điểm $M$, $N$, $P$ lần lượt nằm trên đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$ sao cho $\overrightarrow {MB} = \alpha \overrightarrow {MC} $, $\overrightarrow {NC} = \beta \overrightarrow {NA} $, $\overrightarrow {PA} = \gamma \overrightarrow {PB} .$ Tìm điều kiện của $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ để $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {MB} = \frac{\alpha }{{1 – \alpha }}\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {BP} = \frac{1}{{\gamma – 1}}\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} = (1 – \alpha )\overrightarrow {MC} $, $\overrightarrow {CN} = \frac{\beta }{{1 – \beta }}\overrightarrow {AC} .$

Ta có:

$\overrightarrow {MN} = – \frac{1}{{1 – \alpha }}\overrightarrow {AB} + \left( {\frac{1}{{1 – \alpha }} + \frac{\beta }{{1 – \beta }}} \right)\overrightarrow {AC} .$

$\overrightarrow {MP} = \left( { – \frac{\alpha }{{1 – \alpha }} – \frac{1}{{1 – \gamma }}} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{\alpha }{{1 – \alpha }}\overrightarrow {AC} .$

Để $M$, $N$, $P$ thẳng hàng thì ta phải có:
$\frac{{ – \frac{\alpha }{{1 – \alpha }} – \frac{1}{{1 – \gamma }}}}{{ – \frac{1}{{1 – \alpha }}}}$ $ = \frac{{\frac{\alpha }{{1 – \alpha }}}}{{\frac{1}{{1 – \alpha }} + \frac{\beta }{{1 – \beta }}}}$ $ \Leftrightarrow \alpha \beta \gamma = 1.$

Bài 8: Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O.$ Chứng minh rằng trung điểm hai đường chéo $AC$, $BD$ và tâm $O$ thẳng hàng.

Giải:

Gọi $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ đối với đường tròn tâm $O.$

Đặt $SA = AP=a$, $BP =BQ=b$, $CQ=CR = c$, $DR = DS=d.$

Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác $ABCD$ ta có:

$(a + b)\overrightarrow {OP} + (b + c)\overrightarrow {OQ} $ $ + (c + d)\overrightarrow {OR} + (d +

a)\overrightarrow {OS} = \vec 0.$

$ \Leftrightarrow (a + b)\left( {\frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {OA} + \frac{a}{{a + b}}\overrightarrow {OB} } \right)$ $ + (b + c)\left( {\frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {OB} + \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {OC} } \right)$ $ + (c + d)\left( {\frac{d}{{c + d}}\overrightarrow {OC} + \frac{c}{{c + d}}\overrightarrow {OD} } \right)$ $ + (d + a)\left( {\frac{a}{{d + a}}\overrightarrow {OD} + \frac{d}{{d + a}}\overrightarrow {OA} } \right).$

$ \Leftrightarrow (b + d)(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} )$ $ + (a + c)(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0.$

$ \Leftrightarrow (b + d)\overrightarrow {OM} + (a + c)\overrightarrow {ON} = \vec 0.$

Suy ra $O$, $M$, $N$ thẳng hàng.

Bài 9: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ thỏa mãn $AB = CD = EF.$ Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác $AMB$, $BNC$, $CPD$, $DQE$, $ERF$, $FSA$ đồng dạng và cân tại $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S.$ Gọi ${O_1}$, ${O_2}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $MPR$ và $NQS.$ Chứng minh rằng ba điểm $O$, ${O_1}$, ${O_2}$ thẳng hàng.

Giải:

Gọi ${M_1}$, ${N_1}$, ${P_1}$, ${Q_1}$, ${R_1}$, ${S_1}$ lần lượt là hình chiếu của $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lên $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA.$ Suy ra ${M_1}$, ${N_1}$, ${P_1}$, ${Q_1}$, ${R_1}$, ${S_1}$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA.$

Ta có: $\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {PN} $ $ = (\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}A} + \overrightarrow {A{S_1}} + \overrightarrow {{S_1}S} )$ $ + (\overrightarrow {R{R_1}} + \overrightarrow {{R_1}E} + \overrightarrow {E{Q_1}} + \overrightarrow {{Q_1}Q} )$ $ + (\overrightarrow {P{P_1}} + \overrightarrow {{P_1}C} + \overrightarrow {C{N_1}} + \overrightarrow {{N_1}N} )$ (vì theo định lí con nhím thì $\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {P{P_1}} + \overrightarrow {R{R_1}} + \overrightarrow {{N_1}N} + \overrightarrow {{Q_1}Q} + \overrightarrow {{S_1}S} = \vec 0$).

Mặt khác $AB = CD = EF$ suy ra $\frac{{M{M_1}}}{{O{M_1}}} = \frac{{R{R_1}}}{{O{R_1}}} = \frac{{P{P_1}}}{{O{P_1}}} = \frac{1}{k}.$

Do đó $\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {PN} $ $ = k(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OR} ).$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {OQ} + \overrightarrow {ON} $ $ = (k + 1)(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OR} )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {O{O_2}} = (k + 1)\overrightarrow {O{O_1}} .$

Hay ba điểm $O$, ${O_1}$, ${O_2}$ thẳng hàng.

Toán lớp 10 - Tags: ,