Ứng dụng của vetơ trong các bài toán vuông góc, tính góc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0

$AB\mathrm{\perp }AC\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

$\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}).(\overrightarrow{S{B}^{\prime }}-\overrightarrow{S{A}^{\prime }})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{S{B}^{\prime }}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{S{A}^{\prime }}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{S{B}^{\prime }}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{S{A}^{\prime }})$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{S{B}^{\prime }}=0\\ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{S{A}^{\prime }}=0\\ \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{S{A}^{\prime }}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{S{B}^{\prime }}\end{array}$

Từ đó suy ra  $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=0$ nên SM vuông góc với A’B.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Gọi $O$là tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }ABC$, $D$là trung điểm cạnh$AB$,$E$là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }ACD$. Chứng minh rằng nếu $AB=AC$thì $OE\mathrm{\perp }CD$.
2. Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A.$ Gọi $D$ là trung điểm cạnh $AB$, $E$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ADC$. Chứng minh$IE\mathrm{\perp }CD$. ($I$là tâm đường tròn ngoại tiếp$\mathrm{\Delta }ABC$).
3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: $BM\mathrm{\perp }CN\iff b^2+c^2=5a^2$
4. Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ$BH\mathrm{\perp }AC$.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC.Chứng minh rằng:$BM\mathrm{\perp }MN$

• Ứng dụng của vectơ trong các bài toán đồng quy, thẳng hàng

• Tóm tắt toàn bộ lý thuyết về Vectơ

• Đề cương ôn tập học kì 2 môn Vật lý 6 năm 2018 – 2019

• Đề cương ôn tập hè Toán 5 lên 6 năm 2018

• 9 sai lầm cơ bản trong giải toán trắc nghiệm

• Cách hạn chế sai lầm trong giải toán trắc nghiệm

• Bộ câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết Toán 11 + 12 có đáp án