Ứng dụng của vectơ trong chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\alpha ,$ với $\alpha =(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),$

và bởi $\left|c\text{os}\alpha \right|\le 1$, do đó:$|\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|\le \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1:     Cho $\mathrm{\Delta }$ABC, CMR: cosA + cosB + cosC $\le \frac{3}{2}$.

Giải

Thiết lập các vectơ đơn vị $\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{e_3}$ trên các cạnh AB, BC, AC của $\mathrm{\Delta }$ABC, ta được:

$\overrightarrow{e_1}.\overrightarrow{e_2}=\left|\overrightarrow{e_1}\right|.\left|\overrightarrow{e_2}\right|.c\text{os}({180}^0-B)=-\cos B,$

$\overrightarrow{e_2}.\overrightarrow{e_3}=\left|\overrightarrow{e_2}\right|.\left|\overrightarrow{e_3}\right|.c\text{os}({180}^0-C)=-\cos C,$

$\overrightarrow{e_1}.\overrightarrow{e_3}=\left|\overrightarrow{e_1}\right|.\left|\overrightarrow{e_3}\right|.c\text{os}({180}^0-A)=-\cos A,$

Mặt khác ta luôn có:

${(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3})}^2={\overrightarrow{e_1}}^2+{\overrightarrow{e_2}}^2+{\overrightarrow{e_3}}^2+2(\overrightarrow{e_1}.\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_2}.\overrightarrow{e_3}+\overrightarrow{e_1}.\overrightarrow{e_2})$

$=3+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\ge 0$

$\iff \cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$, đpcm.

Ví dụ 2:  Cho $\mathrm{\Delta }$ABC, CMR: $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2}$.

Giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }$ABC, ta nhận được:

$\begin{array}{l}2A=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}),\\ 2B=(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}),\\ 2C=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}),\end{array}$

Mặt khác:

${(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}^2={\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA})$

$=3{\text{R}}^2+2({\text{R}}^2.c\text{os}2C+{\text{R}}^{2}c\text{os}2A+{\text{R}}^{2}c\text{os}2B)\ge 0$

$\iff$$c\text{os}2A+c\text{os}2B+c\text{os}2C\ge -\frac{3}{2}$, đpcm

Ví dụ 3: Chứng minh ${\displaystyle \mathrm{\forall }x,y\in }$R, ta có: ${\displaystyle \left|\frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^{2)}}\right|\le \frac{1}{2}}$ (*)

Giải

Ta có (*) ${\displaystyle \iff \left|\frac{x(1-y^2)+y(1-x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|\le \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \iff |\left(\frac{2x}{1+x^2}\right).\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)+\left(\frac{2y}{1+y^2}\right).\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)|\le 1}$

Đặt:

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{a}=(\frac{2x}{1+x^2},\frac{1-x^2}{1+x^2})\\ \overrightarrow{b}=(\frac{1-y^2}{1+y^2},\frac{2y}{1+y^2})\end{array}}$

Suy ra :  ${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1}$

Mà ${\displaystyle |\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}|\le \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$. Vậy  ${\displaystyle |\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|\le 1}$ (đpcm).

Ví dụ 4:

Cho ba  số ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ thỏa hệ thức ${\displaystyle x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz.}$ Chứng minh rằng ${\displaystyle x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\ge 0.}$

Giải

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ :

${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x,y,z),}$ ${\displaystyle \overrightarrow{v}=(y,z,x)}$

Vì  ${\displaystyle \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}$

${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle xy+yz+xz=(x^2+y^2+z^2)\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).}$

Mặt khác ta có ${\displaystyle xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2}$ nếu ${\displaystyle \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=1}$ nghĩa là ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ và ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ cùng hướng. Vì ${\displaystyle \left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|}$ do đó ${\displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}}$ nghĩa là ${\displaystyle x=y=z}$.

Do đó ta có:

${\displaystyle 0\le x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx).}$

Ví dụ 5: Cho bốn số thực tùy ý $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh:

$\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}+\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\ge \sqrt{{(a_1+b_1)}^2+{(a_2+b_2)}^2}$

Giải

Xét các vectơ:$\overrightarrow{u}=(a_1,a_2);\overrightarrow{v}=(b_1,b_2)\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$

Áp dụng :$\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$ $\Rightarrow$$\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}+\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\ge \sqrt{{(a_1+b_1)}^2+{(a_2+b_2)}^2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$cùng hướng$\iff a_1.b_2=a_2.b_1$

Ví dụ 6: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6

Chứng minh rằng:$\sqrt{16a^2+a^2{x}^2}+\sqrt{16b^2+b^2{y}^2}+\sqrt{16c^2+c^2{z}^2}\ge 10$

HD: Đặt $\overrightarrow{u}=(4a,\text{ax});\overrightarrow{v}=(4b,by);\overrightarrow{\text{w}}=(4c;cz)$

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho $\mathrm{\Delta }$ABC, CMR: $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$.

2. CMR:

a) $\sum _{i=1}^{n}c\text{os}\frac{2(i-1)\pi }{n}=0$.

b)  $\sum _{i=1}^n\sin \frac{2(i-1)\pi }{n}=0$

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$f=x+\sqrt{2-x^2}+x.\sqrt{2-x^2}$

4. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z $\le$ 1

Chứng minh rằng:$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge \sqrt{82}$

5. (Đại học khối B 2006).Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\sqrt{x^2+y^2+2x+1}+|y-2|$

6. Cho ba số thực x, y, z tùy ý.Chứng minh:

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge \sqrt{y^2+yz+z^2}$

• Ứng dụng của vectơ trong các bài toán quỹ tích điểm

• Ứng dụng vetơ chứng minh hai điểm trùng nhau

• Ứng dụng của vetơ trong các bài toán vuông góc, tính góc

• Ứng dụng của vectơ trong các bài toán đồng quy, thẳng hàng

• Tóm tắt toàn bộ lý thuyết về Vectơ

• Đề cương ôn tập học kì 2 môn Vật lý 6 năm 2018 – 2019

• Đề cương ôn tập hè Toán 5 lên 6 năm 2018