Ứng dụng của vectơ trong các bài toán quỹ tích điểm

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ :

Nếu |MA|=|MB|, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

|MC|=k|AB|, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.

Nếu MA=kBC, với A, B, C cho trước thì:

– Với kR điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

– Với kR+ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC.

– Với kR điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ΔABC, tìn tập hợp những điểm M thỏa mãn

a. MA+kMBkMC=0. (1)

b. (1k)MA+MBkMC=0. (2)

Giải

a. Ta biến đổi (1) về dạng:

MA=k(MCMB)MA=kBC.

M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

b. Ta biến đổi (2) về dạng:

MA+MBk(MA+MC)=0.                                      (3)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

(3)2ME2kMF=0ME=kMF

M thuộc đường trung bình EF của ΔABC.

Ví dụ 2: Trên tia Ox và Oy của xOy^ lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.

Giải

Lấy hai điểm M0, N0 thuôạ Ox, Oy sao cho:

OM0=ON0=a2.

Giả sử OM=k thì ON=a-k, với 0ka, khi đó:

OM=2kaOM0  và ON=2(ak)aON0.

Vì I là trung điểm của đoạn MN, ta được:

OI=12(OM+ON)=12 [ 2kaOM0+2(ak)aON0]

OM0+M0I=kaOM0+2(ak)aON0

M0I=(ka1)OM0+akaON0

aM0I=(ak)(ON0OM0)M0I=akAM0N0

Vậy quỹ tích I thuộc đoạn M0N0.     

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau.

Giải

Ta đặt: CA=a;CB=b .Khi đó CM=b2CE=kCA=ka. Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho CE=kCA=ka, với 0< k< 1. Khi đó CF=kCB=kb

Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

CD=xCA+(1x)CM=yCE+(1y)CF

Hay   xa+1x2b=kya+k(1y)b

Vì hai vectơ a,b không cùng phương nên x = ky và 1x2=k(1y).

Suy ra x = 2k -1,do đó CD=(2k1)a+(1k)b

Ta có:

ED=CDCE =(2k1)a+(1k)bka=(1k)(ba)=(1k)AB

Chú ý rằng vì CF=kCB hay AB+BG=kAB

Suy ra (1k)AB=GB

Do đó ED = GB. Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM=AC4. Gọi N là trung điểm CD.Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Giải

Đặt AD=a,AB=b

Khi đó:

AM=14AC=14(a+b)AN=AD+DN=a+b2

Ta có:     MB.MN=116(a+3b)(3a+b)

=116(3a2+3b2+8a.b)=0

MB2=116(a+3b)2=116(a2+9b26a.b)=58a2

MN2=116(3a+b)2=116(9a2+b2+6a.b)=58a2

Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M

Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh

Giải

Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh:

AC2+BD2=2(AB2+AD2)

Ta có:

AC2+BD2=AC2+BD2=(AB+AD)2+(BC+BA)2=2(AB2+AD2)+2(AB.AD+BA.BC)

Do AB.AD+BA.BC=0BA=AB;BC=AD nên:AB.AD+BA.BC=0

Vậy ta có: AC2+BD2=2(AB2+AD2)

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. ChoΔABCvuông cân tại C. Trên các cạnhBC, CA, ABlần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: MBMC=NCNA=PAPB

Chứng minh rằng:

a. CPMN

b. CP=MN.

2. Cho ΔABCcó đường cao CH. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của các cạnh ABCH. Một đường thẳng ddi động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh ACMvà cắt cạnh BCN. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P,Q nằm trên cạnh AB. Gọi Jlà tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng tỏ rằng ba điểm I,K,Jthẳng hàng.

3. Cho hai hình vuông ABCDBKMNcó chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài. Chứng minh rằng trung tuyến BE của ΔABKnằm trên đường thẳng chứa đường cao BHcủa ΔBNC.

4. Qua trọng tâm Gcủa ΔABC vẽ đường thẳng Δcắt các cạnh ABACtại MN. Chứng minh:MBMA+NCNA=1.

5. Cho ΔABC. Từ một PđiểmP thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CA, CBtại QR. Đường thẳng d nối Q với trung điểm IcủaCA cắt đường thẳng d nối R với trung điểm Jcủa CB tạiS. Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn đi qua một điểm cố định.

6. Cho tam giac ABC có trọn tâm G và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh rằng: OG2=R219(a2+b2+C2)

Hình học, Tin tức - Tags: , ,