Ứng dụng của vectơ trong các bài toán quỹ tích điểm

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ :

Nếu $ \left| \overrightarrow{MA} \right|$=$ \left| \overrightarrow{MB} \right|$, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

$ \left| \overrightarrow{MC} \right|$=k$ \displaystyle \left| \overrightarrow{AB} \right|$, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.

Nếu $ \overrightarrow{MA}$=k$ \overrightarrow{BC}$, với A, B, C cho trước thì:

– Với k$ \in $R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

– Với k$ \in $$ {{R}^{+}}$ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng $ \overrightarrow{BC}$.

– Với k$ \in $R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng $ \overrightarrow{BC}$.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho $ \Delta $ABC, tìn tập hợp những điểm M thỏa mãn

a. $ \overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. (1)

b. $ (1-k)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. (2)

Giải

a. Ta biến đổi (1) về dạng:

$ \overrightarrow{MA}=k(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}.$

$ \Leftrightarrow $M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

b. Ta biến đổi (2) về dạng:

$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}$.                                      (3)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

(3)$ \displaystyle \Leftrightarrow 2\overrightarrow{ME}-2k\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{ME}=k\overrightarrow{MF}$

$ \Leftrightarrow $M thuộc đường trung bình EF của $ \Delta $ABC.

Ví dụ 2: Trên tia Ox và Oy của $ \widehat{xOy}$ lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.

Giải

Lấy hai điểm $ {{M}_{0}}$, $ {{N}_{0}}$ thuôạ Ox, Oy sao cho:

$ O{{M}_{0}}=O{{N}_{0}}=\frac{a}{2}$.

Giả sử OM=k thì ON=a-k, với 0$ \le k\le a$, khi đó:

$ \overrightarrow{OM}=\frac{2k}{a}\overrightarrow{O{{M}_{0}}}$  và $ \overrightarrow{ON}=\frac{2(a-k)}{a}\overrightarrow{O{{N}_{0}}}$.

Vì I là trung điểm của đoạn MN, ta được:

$ \overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\text{ }\!\![\!\!\text{ }\frac{2k}{a}\overrightarrow{O{{M}_{0}}}+\frac{2(a-k)}{a}\overrightarrow{O{{N}_{0}}}$]

$ \Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{0}}}+\overrightarrow{{{M}_{0}}I}=\frac{k}{a}\overrightarrow{O{{M}_{0}}}+\frac{2(a-k)}{a}\overrightarrow{O{{N}_{0}}}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{0}}I}=(\frac{k}{a}-1)\overrightarrow{O{{M}_{0}}}+\frac{a-k}{a}\overrightarrow{O{{N}_{0}}}$

$ \begin{array}{l}\Leftrightarrow a\overrightarrow{{{M}_{0}}I}=(a-k)(\overrightarrow{O{{N}_{0}}}-\overrightarrow{O{{M}_{0}}})\\\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{0}}I}=\frac{a-k}{A}\overrightarrow{{{M}_{0}}{{N}_{0}}}\end{array}$

Vậy quỹ tích I thuộc đoạn $ {{M}_{0}}{{N}_{0}}$.     

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau.

Giải

Ta đặt: $ \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$ .Khi đó $ \overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{b}}{2}\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CA}=k\overrightarrow{a}$. Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho $ \overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CA}=k\overrightarrow{a}$, với 0< k< 1. Khi đó $ \overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{b}$

Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

$ \overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{CA}+(1-x)\overrightarrow{CM}=y\overrightarrow{CE}+(1-y)\overrightarrow{CF}$

Hay   $ x\overrightarrow{a}+\frac{1-x}{2}\overrightarrow{b}=ky\overrightarrow{a}+k(1-y)\overrightarrow{b}$

Vì hai vectơ $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương nên x = ky và $ \frac{1-x}{2}=k(1-y)$.

Suy ra x = 2k -1,do đó $ \overrightarrow{CD}=(2k-1)\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{b}$

Ta có:

$ \overrightarrow{ED}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CE}$ $ =(2k-1)\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}$$ =(1-k)(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$=$ (1-k)\overrightarrow{AB}$

Chú ý rằng vì $ \overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{CB}$ hay $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=k\overrightarrow{AB}$

Suy ra $ (1-k)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}$

Do đó ED = GB. Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho $ AM=\frac{AC}{4}$. Gọi N là trung điểm CD.Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Giải

Đặt $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$

Khi đó:

$ \begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\\\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}\end{array}$

Ta có:     $ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}=\frac{1}{16}(-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

$ =\frac{1}{16}(-3{{\overrightarrow{a}}^{2}}+3{{\overrightarrow{b}}^{2}}+8\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=0$

$ {{\overrightarrow{MB}}^{2}}=\frac{1}{16}{{(-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})}^{2}}=\frac{1}{16}({{\overrightarrow{a}}^{2}}+9{{\overrightarrow{b}}^{2}}-6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{5}{8}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$

$ {{\overrightarrow{MN}}^{2}}=\frac{1}{16}{{(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}}=\frac{1}{16}(9{{\overrightarrow{a}}^{2}}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}+6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{5}{8}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$

Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M

Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh

Giải

Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh:

$ \begin{array}{l}A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})\\\end{array}$

Ta có:

$ \begin{array}{l}A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}={{\overrightarrow{AC}}^{2}}+{{\overrightarrow{BD}}^{2}}\\={{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})}^{2}}+{{(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})}^{2}}\\=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})+2(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC})\\\end{array}$

Do $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$$ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên:$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$

Vậy ta có: $ A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})$

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho$ \Delta ABC$vuông cân tại $ C$. Trên các cạnh$ BC,$ $ CA,$ $ AB$lần lượt lấy các điểm $ M,$ $ N,$ $ P$ sao cho: $ \frac{MB}{MC}=\frac{NC}{NA}=\frac{PA}{PB}$

Chứng minh rằng:

a. $ CP\bot MN$

b. $ CP=MN$.

2. Cho $ \Delta ABC$có đường cao $ CH$. Gọi $ I,$$ K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB$và $ CH$. Một đường thẳng $ d$di động luôn luôn song song với cạnh $ AB$ cắt cạnh $ AC$ở $ M$và cắt cạnh $ BC$ở $ N$. Dựng hình chữ nhật $ MNPQ$ với hai điểm $ P,$$ Q$ nằm trên cạnh $ AB$. Gọi $ J$là tâm hình chữ nhật $ MNPQ$. Chứng tỏ rằng ba điểm $ I,$$ K,$$ J$thẳng hàng.

3. Cho hai hình vuông $ ABCD$và $ BKMN$$ $có chung đỉnh $ B$ và đỉnh $ M$ nằm trên $ DB$ kéo dài. Chứng minh rằng trung tuyến $ BE$ của $ \Delta ABK$nằm trên đường thẳng chứa đường cao $ BH$của $ \Delta BNC$.

4. Qua trọng tâm $ G$của $ \Delta ABC$ vẽ đường thẳng $ \Delta $cắt các cạnh $ AB$ và$ AC$tại $ M$và $ N$. Chứng minh:$ \frac{MB}{MA}+\frac{NC}{NA}=1$.

5. Cho $ \Delta ABC$. Từ một $ P$điểm$ P$ thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với $ CA,$ $ CB$ lần lượt cắt $ CA,$ $ CB$tại $ Q$ và $ R$. Đường thẳng $ d$ nối $ Q$ với trung điểm $ I$của$ CA$ cắt đường thẳng $ {{d}^{‘}}$ nối $ R$ với trung điểm $ J$của $ CB$ tại$ S$. Chứng minh rằng đường thẳng $ PS$ luôn đi qua một điểm cố định.

6. Cho tam giac ABC có trọn tâm G và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh rằng: $ O{{G}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{1}{9}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{C}^{2}})$

Hình học, Tin tức - Tags: , ,