Ứng dụng của vectơ trong các bài toán đồng quy, thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC},$ k$\in$R.

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

– Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Hướng 2:  Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:        Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

                        $\overrightarrow{MC}=\alpha \overrightarrow{MA}+(1-\alpha )\overrightarrow{MB}$

Với điểm tùy ý M và số thực $\alpha$ bất kì.

Đặc biệt khi $0\le \alpha \le 1$ thì C thuộc đoạn AB

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số$\frac{A\text{E}}{AC}=\frac{2}{3}$. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

Giải

Ta có:             $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}$

$\Rightarrow$          $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$                        (1)

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$

Theo giả thiết, ta suy ra:

$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})$

$\Rightarrow$          $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{CB})$

Từ đây ta có:

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{D}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow$          $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow$          $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB})$                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}$

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho $\mathrm{\Delta }$ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của $\mathrm{\Delta }$ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$                                                (1)

Gọi E là trung điểm BC và $A_1$ là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

$\{\begin{array}{c}BH\parallel C{A}_1(c\stackrel{`}{\mathrm{u}}\text{ ng}\mathrm{\perp }AC)\\ CH\parallel B{A}_1(c\stackrel{`}{\mathrm{u}}\text{ ng}\mathrm{\perp }AB)\end{array}$

${\displaystyle \Rightarrow A_{1}BHC}$ là hình bình hành

${\displaystyle \Rightarrow A_1}$, E, H thẳng hàng ${\displaystyle \Rightarrow }$$D$

Ta có:

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$           (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}\iff O,G,H$ thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ của đường tròn (O). Chứng   minh rằng trực tâm của ba tam giác $AB{C}_1,BC{A}_1,CA{B}_1$ nằm trên một đường thẳng.

                                                         Giải

Gọi $H_1,H_2,H_3$ lần lượt là trực tâm của các tam giác$AB{C}_1,BC{A}_1,CA{B}_1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{O{H}_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{C}_1}\\ \overrightarrow{O{H}_2}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{A}_1}\\ \overrightarrow{O{H}_3}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{B}_1}\end{array}$

Suy ra:

$\overrightarrow{H_1{H}_2}=\overrightarrow{O{H}_2}-\overrightarrow{O{H}_1}$

$\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{C}_1}+\overrightarrow{O{A}_1}-\overrightarrow{OA}\\ =\overrightarrow{C_{1}C}+\overrightarrow{A{A}_1}\end{array}$

$\overrightarrow{H_1{H}_3}=\overrightarrow{O{H}_3}-\overrightarrow{O{H}_1}$

$\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{C}_1}+\overrightarrow{O{B}_1}-\overrightarrow{OB}\\ =\overrightarrow{C_{1}C}+\overrightarrow{B{B}_1}\end{array}$

Vì các dây cung $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ song song với nhau

Nên ba vectơ $\overrightarrow{A{A}_1},\overrightarrow{B{B}_1},\overrightarrow{C{C}_1}$ có cùng phương

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{H_1{H}_2}v\stackrel{`}{\mathrm{a}}\overrightarrow{H_1{H}_3}$ cùng phương hay ba điểm $H_1,H_2,H_3$ thẳng hàng.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho $\mathrm{\Delta }$ABC. Đường tròn nội tiếp $\mathrm{\Delta }$ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.
2. Cho $\mathrm{\Delta }$ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,{\mathrm{\Delta }}_3$ đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh trực tâm của ba tam giác $AB{C}_1,BC{A}_1,CA{B}_1$ thẳng hàng.
3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.
4. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.

• Tóm tắt toàn bộ lý thuyết về Vectơ

• Đề cương ôn tập học kì 2 môn Vật lý 6 năm 2018 – 2019

• Đề cương ôn tập hè Toán 5 lên 6 năm 2018

• 9 sai lầm cơ bản trong giải toán trắc nghiệm

• Cách hạn chế sai lầm trong giải toán trắc nghiệm

• Bộ câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết Toán 11 + 12 có đáp án

• Cách tra cứu điểm thi vào lớp 10 cả nước năm 2018