Tóm tắt toàn bộ lý thuyết về Vectơ

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết về Vectơ: Định nghĩa vectơ, Độ dài vectơ, Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau, Phép cộng vectơ, Phép trừ vectơ, Phép nhân vectơ với một số thực.

Và TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO.

1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1.1 Định nghĩa vectơ

– Vectơ là một đoạn thẳng định hướng.

– Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối.

Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là $\vec{A B}$

Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu: $\vec{0}$ .

1.1.1 Độ dài vectơ

Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của $\vec{A B}$ kí hiệu: $| \vec{A B} |$ .

1.1.2 Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:

Hai vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{C D}$ cùng hướng , kí hiệu: $\vec{A B} ↑↑ \vec{C D}$ .
Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu: $\vec{A B} ↑↓ \vec{C D}$ .

Hai vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{C D}$ bằng nhau, kí hiệu: $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

$\vec{A B} = \vec{C D} \Leftrightarrow {\begin{matrix} A B = C D \\ \vec{A B} ↑↑ \vec{C D} \end{matrix}$

Hai vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{C D}$ đối nhau, kí hiệu: $\vec{A B} = - \vec{C D}$ .

$\vec{A B} = - \vec{C D} \Leftrightarrow {\begin{matrix} A B = C D \\ \vec{A B} ↑↓ \vec{C D} \end{matrix}$

2. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

2.1 Phép cộng vectơ

– Các quy tắc

+ Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có:

$\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (hệ thức Chasles)

+ Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

– Tính chất của phép cộng vectơ

+ Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

+ Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = (\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

+ Tính chất của $\vec{0}$ : $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$

2.2 Phép trừ vectơ

– Ta có: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

– Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ

Cho vectơ $\vec{A B}$ và một điểm O bất kì, ta luôn có:

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$

2.3 Phép nhân vectơ với một số thực

– Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu: k $\vec{a}$

$| k \vec{a} | = | k | | \vec{a} |$

– Tính chất:

+ Phân phối đối với phép cộng vectơ: $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$

+ Phân phối đối với phép cộng: $(k + h) \vec{a} = k \vec{a} + h \vec{a}$

+ Kết hợp: $k (h \vec{a}) = (k . h) \vec{a}$

3. TỌA ĐỘ VECTƠ

3.1 Trục tọa độ

– Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị $\vec{i}$ có độ dài bằng 1.

– Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: Cho vectơ $\vec{u} = a \vec{i}$ ; a được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{u}$ trên trục (O; $\vec{i}$ ).

Một điểm M nằm trên trục và $\vec{O M} = m . \vec{i}$ ; m là tọa độ của M trên trục (O; $\vec{i}$ ).

3.2 Hệ trục tọa độ

– Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ , $\vec{j}$ có độ dài bằng 1.

– Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ $\vec{u}$ , ta có:

$\vec{u} = u_{1} \vec{i} + u_{2} \vec{j}$

Cặp số (u₁;u₂) được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{u}$

Kí hiệu $\vec{u}$ = (u₁;u₂)

Cho hai điểm A(x_A;y_A) và B(x_B; y_B) thì:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

– Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì: $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j}$

$\Leftrightarrow$ x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

4.1 Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ được xác định bởi:

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . c os (\vec{a}, \vec{b})$

4.2 Hệ quả:

– Bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$ : $\vec{a^{2}} = {| \vec{a} |}^{2}$

– Điều kiện vuông góc của hai vectơ: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$

4.3 Tính chất

Với mọi $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ và số thực k:

– $\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a};$

– $(m . \vec{a}) . \vec{b} = m (\vec{a} . \vec{b});$

– $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c};$

4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\vec{a} (x_{1}; y_{1})$ , $\vec{b} (x_{2}; y_{2})$ .

Khi đó $\vec{a} . \vec{b} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$

Hệ quả:

– $| \vec{a} |$ = $\sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}}$

– $c os (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}}{\sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}} . \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}}}$