Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức
A. Kiến thức cần nhớ
1. Một số tính chất của tỉ số
+ Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có $ a\ge b\Leftrightarrow \frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$
+ Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có:
– Nếu $ \frac{a}{b}<1$ thì $ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$
– Nếu $ \frac{a}{b}>1$ thì $ \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$
– Nếu $ \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ thì $ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$
2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức
+ $ \left| a \right|\ge a;\,\,\,\left| a \right|\ge 0$
+ $ \left| a \right|\le b\Leftrightarrow -b\le a\le b$
+ $ \left| a \right|\ge b>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a\ge b\\a\le -b\end{array} \right.$
+ $ \left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|$. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.
+ $ \left| a-b \right|\le \left| a+b \right|$. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.
+ $ \left| a \right|-\left| b \right|\le \left| a-b \right|$. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ a\ge b\ge 0$ hoặc $ a\le b\le 0$.
+ Cho các số thực a1, a2,…,an thế thì hiển nhiên ta có
|a1 + a2 +…+ an| ≤ |a1| + |a2| +…+ |an|
+ Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có
$ \left| \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right|\ge 2$. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ a=\pm b$.
3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức
Cho tam thức bậc hai $ \displaystyle f(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c$ với $ \displaystyle a\ne 0$. Khi đó ta viết được $ f(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c=a{{\left( ax-\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{\Delta }{4{{a}^{2}}}$ với $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac$
Từ đó ta có một số tính chất sau:
Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac\ge 0$
Tính chất 2: Nếu $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac\le 0$ thì $ \displaystyle af(x)\ge 0$.
Tính chất 3: Nếu $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac\le 0$ và đa thức có hai nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<\,{{x}_{2}} \right)$ thì
+ $ \displaystyle af(x)\le 0$ với mọi giá trị $ \displaystyle {{x}_{1}}\le x\le {{x}_{2}}$.
+ $ \displaystyle \text{af(x)}\,\text{}\,\text{0}$ với mọi giá trị $ \displaystyle x\le {{x}_{1}}$ hoặc $ \displaystyle x\ge {{x}_{2}}$.
B. Một số ví dụ minh họa sử dụng các tính chất trên
Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Đề cương ôn tập học kì 2 môn Vật lý 7 năm 2017 – 2018
Chỉ còn 6 tác phẩm bắt buộc chương trình Ngữ văn THPT
Những dạng toán có thể có trong đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.HCM năm 2018
Thông tin cần biết về tuyển sinh lớp 10 ở TP.HCM vào năm 2018
Chương trình giáo dục phổ thông mới: Thay đổi từng môn học
Những kỹ năng sống thiết yếu nên dạy con trước 10 tuổi