Phương pháp quy nạp toán học chứng minh BĐT
1. Một số kiến thức cần nhớ
a) Phương pháp làm trội, làm giảm
Giả sử cần chứng minh $ \displaystyle A\le B$, khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành $ \displaystyle A\le M$ rồi chứng minh. Cũng có thể làm giảm B thành $ \displaystyle M\le B$ rồi chứng minh $ \displaystyle A\le M$.
Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức về tổng hoặc tích của một dãy số. Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
Chú ý:
– Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm sao cho bất đẳng thức cuối cùng cần chứng minh phải càng đơn giản càng tốt.
– Thông thường ta tìm quy luật viết các số hạng của dãy rồi đưa ra cách viết tổng quát, từ đó ta mới làm trội cho số hạng tổng quát và áp dụng cho các số hạng cụ thể.
b) Phương pháp quy nạp toán học
+ Nội dung của phương pháp quy nạp
Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
– Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n
– Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k suy ra được bất đẳng thức đúng với
+ Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức $ \displaystyle A\left( n \right)\ge B\left( n \right)$ với $ \displaystyle n\ge {{n}_{0}},\,\,n\in N$, ta tiến hành các bước như sau:
– Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với $ \displaystyle n={{n}_{0}}$
– Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với $ \displaystyle n=k\left( k\ge {{n}_{0}},\,\,k\in N \right)$
– Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với $ \displaystyle n=k+1$ và kết luận bất đẳng thức đúng với $ \displaystyle n\ge {{n}_{0}}$.
Chú ý:
– Thông thường khi chứng minh bất đẳng thức có sự phụ thuộc vào số nguyên dương n, thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
– Trong phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức có được từ bước thứ hai chính là một giả thiết mới được dùng để chứng minh bất đẳng thức trong bước thứ ba. Do đó cần phải khai thác thật hiệu quả giả thiết quy nạp.
2. Một số ví dụ minh họa
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức
Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Đề cương ôn tập học kì 2 môn Vật lý 7 năm 2017 – 2018
Chỉ còn 6 tác phẩm bắt buộc chương trình Ngữ văn THPT
Những dạng toán có thể có trong đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.HCM năm 2018
Thông tin cần biết về tuyển sinh lớp 10 ở TP.HCM vào năm 2018