Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy lớp 10

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có A(1; 5), B (-3;1) và C(5;1)

a) Tính chu vi, tam giác ABC là tam giác gì ?

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

GIẢI.

Độ dài các cạnh :

$AB=\sqrt{(-3-1)^2+(1-5)^2}=4\sqrt{2}$

$AC=\sqrt{(5-1)^2+(1-5)^2}=4\sqrt{2}$

$BC=\sqrt{(5+3)^2+(1-1)^2}=8$

chu vi : C = AB + AC + BC = $4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8$
ta có : $AB=AC=4\sqrt{2}$ => tam giác ABC cân tại A

AB² + AC² = 32 +32 = 64

BC² = 8²=64

=> BC² = AB² + AC²
=> tam giác ABC vuông tại A
Vậy : tam giác ABC vuông cân tại A
b) diện tích : S = AB.AC/2 = $4\sqrt{2}.4\sqrt{2}$ /2 = 16 (đvdt)
nữa chu vi : p =( $4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8$ )/2 = $4\sqrt{2}+4$
ta có : S =pr => r = S/p = 16/( $4\sqrt{2}+4$ ) = $4(\sqrt{2}-1)$

Bài toán 2 : Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;1), B(1;-1), C(3;3) .

a) tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) tìm tọa độ điểm M biết : ⇔ $\overrightarrow {AM}=3\overrightarrow {BC}-2\overrightarrow {CA}$

GIẢI.

a) gọi tọa độ điểm D(x; y)
tứ giác ABCD là hình bình hành khi : $\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}$
ta có : $\overrightarrow {AD}=(x-5 ;y-1)$
$\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)$
Nên : $\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}\Leftrightarrow \begin{cases} x-5=2 \\ y-1=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=7 \\ y=5\end{cases}$
Vậy : D(7; 5)
b) gọi tọa độ điểm M(x; y)
ta có : $\overrightarrow {AM}=(x-5 ;y-1)$

$\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)$

$\overrightarrow {CA}=(5-3;1-3)=(2;-2)$

$\overrightarrow {AM}=3\overrightarrow {BC}-2\overrightarrow {CA}$

(x – 5; y – 1 ) =3(2; 4) – 2(2; -2) = (2; 16)

=> x – 5 = 2 và y – 1 = 16

x = 7 và y = 17

vậy : M(7; 17)

Bài toán 3 : Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;8), B(-2;1), C(4;3) .

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung để ba điểm B, M, A thẳng hàng

b) Tìm tọa độ điểm N trên Ox để tam giác ABN cân tại N

GIẢI.

a) Gọi tọa độ điểm M thuộc trục tung : M(0; y)

Ta có :
$\overrightarrow {AB}=(-2-5 ;1-8)=(-7;-7)$
$\overrightarrow {AM}=(0-5;y-8)= (-5;y-8)$
để ba điểm A, M, B, thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AM}$ cùng phương. Nên ta có :

-5/-7 = (y-8)/-7

<=> y – 8 = -5

<=> y = 3

Vậy : M(0; 3) thì A, M, B, thẳng hàng.
b) Gọi tọa độ điểm N thuộc trục hoành : N(x; 0)
để tam giác ABN cân tại N khi : AN = BN

<=> AN² = BN²

<=> (x – 5)² + (-8)² = (x + 2)² + (-1)²

<=> x² – 10x + 25 + 64 = x² + 4x + 4 + 1

<=> 14x = 84

<=> x = 6

vậy : N(6; 0) thì tam giác ABN cân tại N.

Bài toán 4: Tìm trực tâm của tam giác ứng dụng tích vô hướng :

Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;1), B(1;-1), C(3;3) .

Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

GIẢI.

1) Gọi tọa độ điểm H : H(x; y)
Ta có :

$\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)$

$\overrightarrow {AC}=(3-5;3-1)=(-2;2)$

$\overrightarrow {AH}=(x-5;y-1)$

$\overrightarrow {BH}=(x-1;y+1)$

Do trực tâm H của tam giác ABC. Nên : AH vuông góc BC và BH vuông góc AC :
$\begin{cases} \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC}=0\\ \overrightarrow {BH}.\overrightarrow {AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (x-5)2+(y-1)4=0 \\ (x-1)(-2)+(y+1)2=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=11/3 \\ y=5/3\end{cases}$
Vậy : H(11/3 ; 5/3)
2. gọi tọa độ điểm D(x; y).
$\overrightarrow {AD}=(x-5;y-1)$
AD vuông góc BC, nên : $\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {BC}=0$

2(x-5) + 4(y-1) =0 <=> x + 2y – 7 = 0 (1)

$\overrightarrow {BD}=(x-1;y+1)$
Do B; D; C thẳng hàng, nên : $\overrightarrow {BD},\overrightarrow {BC}$ cùng phương. Nên ta có :

(x-1)/2 = (y+1)/4 <=> 2x – 2 = y + 1 <=> 2x – y – 3 = 0 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ :
$\begin{cases} x + 2y - 7 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=13/5 \\ y=11/5\end{cases}$
Vậy : D(13/5; 11/5)

Bài toán 5: Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ứng dụng tích vô hướng :

Cho tam giác ABC có A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)
Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

GIẢI.

Tọa độ trung điểm M của AB :
$\begin{cases} x_M=(x_A+x_B):2 =(-1+1):2\\ y_M=(y_A+y_B):2=(1+3):2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=2\end{cases}$ => M(0; 2)
Tọa độ trung điểm N của AC :
$\begin{cases} x_N=(x_A+x_C):2 =(-1+1):2\\ y_N=(y_A+y_C):2=(1-1):2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_N=0 \\ y_N=0\end{cases}$ => N(0; 0)
gọi tọa độ điểm I(x; y). A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)
$\overrightarrow {MI}=(x;y-2)$
$\overrightarrow {NI}=(x;y)$
$\overrightarrow {AB}=(1-1;3-1)=(0;2)$
Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy lớp 10 $\overrightarrow {AC}=(1+1;-1-1)=(2;-2)$
tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên :
MI vuông góc AB và NI vuông góc AC :
$\begin{cases} \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {MI}=0\\ \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {NI}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 0.(x) +2.(y-2)=0 \\ 2x-2y=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=2\end{cases}$
Vậy : tâm I(2; 2) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.