Phương pháp giải dạng toán: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai là dạng toán thường có trong đề thi toán vào lớp 10. Có 2 dạng: rút gọn biểu thức số học và biểu thức đại số.

Trung tâm gia sư Hà Nội chia sẻ với các em phương pháp giải cụ thể của từng dạng.

1. Biểu thức số học

Phương pháp:

Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức(đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $ \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$

Hướng dẫn giải chi tiết:

$ \displaystyle \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}}+\sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}}$

$ \displaystyle =\sqrt{\frac{{{(2-\sqrt{3})}^{2}}}{{{2}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}}}+\sqrt{\frac{{{(2+\sqrt{3})}^{2}}}{{{2}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}}$

$ \displaystyle =\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Bài tập tự giải:

1) $ 2\sqrt{5}-\sqrt{125}-\sqrt{80}+\sqrt{605}$

2) $ \frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$

3) $ \sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}$

4) $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

5) $ 2\sqrt{\frac{16}{3}}-3\sqrt{\frac{1}{27}}-6\sqrt{\frac{4}{75}}$

6) $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

7) $ \frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}}$

8) $ 2\sqrt{\frac{16}{3}}-3\sqrt{\frac{1}{27}}-6\sqrt{\frac{4}{75}}$

2. Biểu thức đại số

Phương pháp:

– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;

– Tìm điều kiện xác định (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)

– Rút gọn từng phân thức (nếu được)

– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:

+ Quy đồng (đối với phép cộng trừ) ; nhân, chia.

+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.

+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

*Chú ý:

– Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.

Ví dụ:  Cho biểu thức: $ \displaystyle P=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$

a/ Rút gọn P.

b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.

Giải:

a/ Rút gọn P:

– Phân tích: $ \displaystyle P=\left[ \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right]:\frac{\sqrt{a}+1}{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}$

– ĐKXĐ: $ \displaystyle \begin{array}{l}a>0;\\\sqrt{a}-1\ne 0\Leftrightarrow a\ne 1\end{array}$

– Quy đồng: $ \displaystyle P=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{\sqrt{a}+1}$

–  Rút gọn: $ \displaystyle P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$

b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:

– Chia tử cho mẫu ta được: $ \displaystyle P=1-\frac{1}{\sqrt{a}}$

– Lý luận:  P nguyên ⇔ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$ nguyên ⇔ $ \displaystyle \sqrt{a}$ là ước của 1 là ±1.

⇒ $ \displaystyle \sqrt{a}=\left\{ \begin{array}{l}-1(ktm)\\1\Leftrightarrow a=1\end{array} \right.$

Vậy với  a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên

Bài tập tự giải:

Bài 1:  Cho biểu thức $ A =\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\left( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)$

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị của x để A > – 6.

Bài 2:  Cho biểu thức $ B =\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{2}{2-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\left( \sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2} \right)$

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 3:  Cho biểu thức $ C =\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{3}{x\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$

a) Rút gọn biểu thức C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Trên đây là cách giải dạng toán Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai. Các em cần trợ giúp hay có thắc mắc gì trong cách giải hay cần bài tập thì comment bên dưới nhé.

Tin tức - Tags: ,