Phương pháp chứng minh đẳng thức bằng tính chất dãy tỉ lệ thức

Phương pháp chứng minh đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của dãy tỉ lệ thức.

Tính chất của dãy tỉ lệ thức:

dãy tỉ lệ thức : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

ta được : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$

Bài toán 1:

Cho dãy tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

chứng minh rằng: $\frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d}$

Giải:

Từ dãy tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

suy ra: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Áp dụng tính chất cho dãy tỉ lệ thức :

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a} = \frac{c - d}{a - b}$

Suy ra: $\frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d}$ ->đpcm

vậy: $\frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d}$

Bài toán 2:

Cho $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$

chứng minh: ${(\frac{a + b + c}{b + c + d})}^{3} = \frac{a}{d}$

Giải:

Ta nhận thấy rằng: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a b c}{b c d} = \frac{a}{d}$ (*)

Áp dụng tính chất cho dãy tỉ lệ thức :

$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{a + b + c}{b + c + d}$

Suy ra: $\frac{a}{b} = \frac{a + b + c}{b + c + d}$ (1)

$\frac{b}{c} = \frac{a + b + c}{b + c + d}$ (2)

$\frac{c}{d} = \frac{a + b + c}{b + c + d}$ (3)

Thế (1) ; (2) và (3) vào (*), ta được :

$(\frac{a + b + c}{b + c + d}) \cdot (\frac{a + b + c}{b + c + d}) \cdot (\frac{a + b + c}{b + c + d}) = \frac{a}{d}$

${(\frac{a + b + c}{b + c + d})}^{3} = \frac{a}{d}$ ->đpcm

Vậy: ${(\frac{a + b + c}{b + c + d})}^{3} = \frac{a}{d}$