Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

Trong các đề thi Toán vào lớp chuyên, chọn, THPT chuyên hoặc các đề thi học sinh giỏi Toán 9 thi thoảng vẫn xuất hiện các hệ phương trình bậc cao.

Và dưới đây là các phương pháp giải hệ PT bậc cao mà Trung tâm Gia sư Hà Nội muốn chia sẻ với các em.

A. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức:
Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
a)

{\begin{cases} (3 - x) \sqrt{2 - x} - 2 y \sqrt{2 y - 1} = 0 \\ \sqrt[3]{x + 2} + 2 \sqrt{y + 2} = 5 \end{cases}

{\begin{cases} 2 x^{2} y + y^{3} = 2 x^{4} + x^{6} \\ (x + 2) \sqrt{y + 1} = {(x + 1)}^{2} \end{cases}

Giải
a) Điều kiện: $x \leq 2, y \geq \frac{1}{2}$ . Phương trình (1) tương đương:
$(2 - x) \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 - x} = (2 y - 1) \sqrt{2 y - 1} + \sqrt{2 y - 1}$
Đặt $a = \sqrt{2 - x}, b = \sqrt{2 y - 1}$ . Ta có phương trình: $a^{3} + a = b^{3} + b$ ⇔ $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + 1) = 0$ . Do $a^{2} + a b + b^{2} + 1 = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} + 1 > 0$ suy ra phương trình cho ta $a = b$
$\sqrt{2 y - 1} = \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow x = 3 - 2 y$ thay vào ta có: $\sqrt[3]{5 - 2 y} + 2 \sqrt{y + 2} = 5 \Leftrightarrow$ Đặt $a = \sqrt[3]{5 - 2 y}; b = \sqrt{y + 2}$ ta có hệ phương trình sau:
${\begin{cases} a + 2 b = 5 \\ a^{3} + 2 b^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1; b = 2 \\ a = \frac{- 3 - \sqrt{65}}{4}; b = \frac{23 + \sqrt{65}}{8} \\ a = \frac{\sqrt{65} - 3}{4}; b = \frac{23 - \sqrt{65}}{8} \end{array}$ .
$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 2 \\ y = \frac{233 + 23 \sqrt{65}}{32} \\ y = \frac{233 - 23 \sqrt{65}}{32} \end{array}$
Vậy hệ có nghiệm
$(x; y) = (- 1; 2), (\frac{23 \sqrt{65} - 185}{16}; \frac{233 - 23 \sqrt{65}}{32}), (- \frac{23 \sqrt{65} + 185}{16}; \frac{233 + 23 \sqrt{65}}{32})$
b) Điều kiện: $y \geq - 1$ .
Ta viết lại phương trình (1) thành: $y^{3} - x^{6} + 2 x^{2} (y - x^{2}) = 0$
$\Leftrightarrow (y - x^{2}) (y^{2} + y x^{2} + x^{4} + 2 x^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = x^{2} \\ x = y = 0 \end{array}$
Dễ thấy $x = y = 0$ không phải là nghiệm. Khi $y = x^{2}$ thay vào (2) ta được:
$(x + 2) \sqrt{x^{2} + 1} = {(x + 1)}^{2} \Rightarrow {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 1) = {(x + 1)}^{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{3}, y = 3 \\ x = - \sqrt{3}, y = 3 \end{array}$
(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (\pm \sqrt{3}; 3)$ .

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau
a)

{\begin{cases} x^{5} + x y^{4} = y^{10} + y^{6} \\ \sqrt{4 x + 5} + \sqrt{y^{2} + 8} = 6 \end{cases}

{\begin{cases} 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1 = 2 x^{3} (2 - y) \sqrt{3 - 2 y} \\ \sqrt{x + 2} = \sqrt[3]{14 - x \sqrt{3 - 2 y}} + 1 \end{cases}

Giải
a) Điều kiện: $x \geq - \frac{5}{4}$ .
Ta thấy $y = 0$ không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho $y^{5}$ ta được:
${(\frac{x}{y})}^{5} + \frac{x}{y} = y^{5} + y$ . Đặt $a = \frac{x}{y}$ ta có phương trình: $a^{5} + a = y^{5} + y$ suy ra $(a - y) (a^{4} + a^{3} y + a^{2} y^{2} + a y^{3} + 1) = 0 \Leftrightarrow y = a \Leftrightarrow x = y^{2}$
$\sqrt{4 x + 5} + \sqrt{x + 8} = 6 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ . Từ đó tính được $y = \pm 1$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x; y) = (1; \pm 1)$ .
b) Điều kiện: $x \geq - 2; y \leq \frac{3}{2}$ .Ta thấy khi thì hệ không có nghiệm.
Chia phương trình (1) cho $x^{2} \neq 0$ :
$(1) \Leftrightarrow 2 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} = (4 - 2 y) \sqrt{3 - 2 y}$
$\Leftrightarrow {(1 - \frac{1}{x})}^{3} + (1 - \frac{1}{x}) = {(\sqrt{3 - 2 y})}^{3} + \sqrt{3 - 2 y}$
Đặt $a = 1 - \frac{1}{x}, b = \sqrt{3 - 2 y}$ . Ta có $a^{3} + a = b^{3} + b$ ⇒ $a = b$ ⇔ $\sqrt{3 - 2 y} = 1 - \frac{1}{x}$ .
Thay vào (2) ta được: $x + 2 - \sqrt[3]{15 - x} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = \sqrt[3]{15 - x} \Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 14 = 0$ .
⇔ $x = 7 \Rightarrow y = \frac{111}{98}$ . Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (7; \frac{111}{98})$ .

B. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn $x$ hoặc $y$ ta có thể nghĩ đến các hướng xử lý như sau:
* Nếu $Δ$ chẵn, ta giải $x$ theo $y$ rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp
* Nếu $Δ$ không chẵn ta thường xử lý theo cách:
+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức
+ Dùng điều kiện $Δ \geq 0$ để tìm miền giá trị của biến $x, y$ . Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị $x, y$ vừa tìm được:
Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau
a)

{\begin{cases} x y + x + y = x^{2} - 2 y^{2} \\ x \sqrt{2 y} - y \sqrt{x - 1} = 2 x - 2 y \end{cases}

{\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} - 3 x y + 3 x - 2 y + 1 = 0 \\ 4 x^{2} - y^{2} + x + 4 = \sqrt{2 x + y} + \sqrt{x + 4 y} \end{cases}

Giải
Xét phương trình (1) của hệ ta có:
$x y + x + y = x^{2} - 2 y^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x (y + 1) - 2 y^{2} - y = 0$ . Ta coi đây là phương trình bậc 2 của $x$ thì ta có: $Δ = {(y + 1)}^{2} + 8 y^{2} + 4 y = {(3 y + 1)}^{2}$ . Từ đó suy ra
$[\begin{array}{l} x = \frac{y + 1 - (3 y + 1)}{2} = - y \\ x = \frac{y + 1 + (3 y + 1)}{2} = 2 y + 1 \end{array}$
Trường hợp 1: $x = - y$ . Từ phương trình của hệ ta có điều kiện: ${\begin{cases} x \geq 1 \\ y \geq 0 \end{cases}$ suy ra phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: $x = 2 y + 1$ thay vào phương trình thứ hai ta có:
$\begin{array}{l} (2 y + 1) \sqrt{2 y} - y \sqrt{2 y} = 2 y + 2 \Leftrightarrow y \sqrt{2 y} + \sqrt{2 y} = 2 (y + 1) \\ \Leftrightarrow (y + 1) (\sqrt{2 y} - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow x = 5 \end{array}$
Vậy hệ có một cặp nghiệm: $(x; y) = (5; 2)$
b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:
$2 x^{2} + y^{2} - 3 x y + 3 x - 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} + x (3 - 3 y) + y^{2} - 2 y + 1 = 0$
Coi đây là phương trình bậc 2 của $x$ ta có:
$Δ = {(3 - 3 y)}^{2} - 8 (y^{2} - 2 y + 1) = y^{2} - 2 y + 1 = {(y - 1)}^{2}$
Suy ra $[\begin{array}{l} x = \frac{3 y - 3 - (y - 1)}{4} = \frac{y - 1}{2} \\ x = \frac{3 y - 3 + (y - 1)}{4} = y - 1 \end{array}$
Trường hợp 1: $y = x + 1$ thay vào phương trình (2) ta thu được:
$\begin{array}{l} 3 x^{2} - x + 3 = \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{5 x + 4} \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 x + (x + 1 - \sqrt{3 x + 1}) + (x + 2 - \sqrt{5 x + 4}) = 0 \end{array}$
⇔ $(x^{2} - x) [3 + \frac{1}{x + 1 + \sqrt{3 x + 1}} + \frac{1}{x + 2 + \sqrt{5 x + 4}}] = 0$
Do $x \geq - \frac{1}{3}$ nên $3 + \frac{1}{x + 1 + \sqrt{3 x + 1}} + \frac{1}{x + 2 + \sqrt{5 x + 4}} > 0$
⇒ $x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$
Trường hợp 2: $y = 2 x + 1$ thay vào phương trình (2) ta thu được:
$3 - 3 x = \sqrt{4 x + 1} + \sqrt{5 x + 4} \Leftrightarrow \sqrt{4 x + 1} + \sqrt{5 x + 4} + 3 x - 3 = 0$
Giải tương tự như trên ta được $x = 0$ .
Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: $(x; y) = (0; 1), (1; 2)$

C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ $x, y$ .
Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau
a)

{\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 2 y^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x y}} \\ \sqrt{x (1 - 2 x)} + \sqrt{y (1 - 2 y)} = \frac{2}{9} \end{cases}

{\begin{cases} x (x^{2} - y^{2}) + x^{2} = 2 \sqrt{{(x - y^{2})}^{3}} \\ 76 x^{2} - 20 y^{2} + 2 = \sqrt[3]{4 x (8 x + 1)} \end{cases}

Giải
a) Điều kiện: $0 \leq x, y \leq \frac{1}{2}$ .
Đặt $a = \sqrt{2} x, b = \sqrt{2} y; a, b \in [0; \frac{1}{\sqrt{2}}]$ .
Ta có: $V T = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + b^{2}}} \leq \sqrt{2 (\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}})}$ .
Ta sử dụng bổ đề với $a, b > 0$ và $a b \leq 1$ ta có bất đẳng thức:
$\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \leq \frac{2}{1 + a b} \Leftrightarrow \frac{{(a - b)}^{2} (a b - 1)}{(1 + a b) (1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \leq 0$ (đúng).
Vậy $V T \leq \frac{2}{\sqrt{1 + a b}} = V P$ .
Đẳng thức xảy ra khi $x = y$ . Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của phương trình.
Nghiệm của hệ $(x; y) = (\frac{9 - \sqrt{73}}{36}; \frac{9 - \sqrt{73}}{36}), (\frac{9 + \sqrt{73}}{36}; \frac{9 + \sqrt{73}}{36})$ .
b) Điều kiện: $x \geq y^{2} \geq 0$ .
Phương trình (1) tương đương: $x^{3} + x (x - y^{2}) - 2 \sqrt{{(x - y^{2})}^{3}} = 0$ .
Đặt $\sqrt{x - y^{2}} = u$ phương trình (1) thành:
$x^{3} + x u^{2} - 2 u^{3} = 0 \Leftrightarrow x = u \Leftrightarrow y^{2} = x - x^{2}$
Thay vào (2) ta được: $96 x^{2} - 20 x + 2 = \sqrt[3]{32 x^{2} + 4 x}$ .
Ta có $96 x^{2} - 20 x + 2 = \sqrt[3]{32 x^{2} + 4 x} = \sqrt[3]{1.1 . (32 x^{2} + 4 x)} \leq \frac{32 x^{2} + 4 x + 2}{3}$
$\Leftrightarrow 3 (96 x^{2} - 20 x + 2) \leq 32 x^{2} + 4 x + 2 \Leftrightarrow {(16 x - 2)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{8} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{7}}{8}$
Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (\frac{1}{8}; \pm \frac{\sqrt{7}}{8})$ .

D. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$
Câu 2: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} | x y - 2 | = 4 - y^{2} (1) \\ x^{2} - x y + 1 = 0 (2) \end{cases}$
Câu 3: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 8 x - y = 6 \\ x^{2} - y = - 6 \end{cases}$
Câu 4: Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} \frac{3}{2 x} - y = 6 \\ \frac{1}{x} + 2 y = - 4 \end{cases}$
Câu 5: Tìm $x; y$ thỏa mãn : ${\begin{cases} (x + \sqrt{2015 + x^{2}}) (y + \sqrt{2015 + y^{2}}) = 2015 \\ 3 x^{2} + 8 y^{2} - 12 x y = 23 \end{cases}$

Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

Trong các đề thi Toán vào lớp chuyên, chọn, THPT chuyên hoặc các đề thi học sinh giỏi Toán 9 thi thoảng vẫn xuất hiện các hệ phương trình bậc cao.

A. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

B. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

D. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng

Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

Chuyên đề: Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

Dạng toán: Rút gọn biểu thức chứa số

Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình vào lớp 10 năm 2017

Một số bài tập toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10 năm học 2018-2019