Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp
Bài 1:
* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D
* Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a – b = 1. Chứng minh rằng: a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$
Giải:
Giả sử a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$ (1)
⇔ (a – b)(a2 + ab + b2) – ab ≥ $ \frac{1}{2}$
⇔ a2 + ab + b2 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$ (vì a – b = 1)
⇔ 2a2 + 2b2 ≥ 1
⇔ 2(b + 1)2 + 2b2 ≥ 1 (vì a = b + 1)
⇔ 2b2 + 4b + 2 + 2b2 ≥ 1
⇔ 4b2 + 4b + 1 ≥ 0
⇔ (2b + 1)2 ≥ 0 (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$ với a – b =1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2.
Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
Giải
* Cách 1
Giả sử: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ (1)
⇔ 2(a4 + b4) ≥ (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2)
⇔ 2a4 + 2b4 ≥ a4 + a3b + ab3 + b4
⇔ a4 + b4 – a3b – ab3 ≥ 0
⇔ (a- b)(a3 – b3) ≥ 0
⇔ (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0 (2)
Vì (a – b)2 ≥ 0 và a2 + ab + b2 = (a + $ \frac{1}{2}$)2 + $ \frac{3}{4}$ ≥ 0 nên BĐT (2) là BĐT đúng. Do đó BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ với a + b = 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
* Cách 2:
Giả sử: (1)
⇔ 2(a4 + b4) ≥ (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2)
⇔ 2a4 + 2b4 ≥ a4 + a3b + ab3 + b4
⇔ a4 + b4 – a3b – ab3 ≥ 0
⇔ (a- b)(a3 – b3) ≥ 0 (3)
Xét các trường hợp sau:
* TH: a > b suy ra a3 > b3
Do đó (a – b) > 0 và ( a3 – b3) > 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng
* TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng
* TH : a < b suy ra a3 < b3
Do đó (a – b) < 0 và ( a3 – b3) < 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng
Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng
Suy ra (1) là BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
Nhân xét:
– Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát (xét ở phần sau)
Bài 2:
* Cấu trúc: Cho BĐT C ≥ D, chứng minh A ≥ B.
* Cách giải :
– Xét biểu thức: (A – B) + (D – C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương
– Chứng minh: (A – B) + (D – C) ≥ 0
– Dùng giả thiết C ≥ D để suy ra A ≥ B.
Ví dụ 1:
Cho a + b ≥ 1. Chứng minh: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$
Giải
Xét biểu thức: M = $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$
= $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-a-b+\frac{1}{2}$
= $ \left( {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4} \right)+\left( {{b}^{2}}-b+\frac{1}{4} \right)$
= $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$
Vì $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ và $ {{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$ ≥ 0
mà a + b ≥ 1 suy ra 1 – a – b ≤ 0. Do đó $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)\ge 0$
Vậy $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$ với a + b ≥ 1 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2: Cho a + b ≥ 2. Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
Giải
Xét biểu thức : N = $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$
= $ ({{a}^{4}}-{{a}^{3}}-a+1)+\left( {{b}^{4}}-{{b}^{3}}-b+1 \right)$
= (a – 1)(a3 – 1) + (b – 1)(b3 – 1)
= (a – 1)2 (a2 + a +1) + (b – 1)2 (b2 + b + 1)
Vì (a – 1)2 (a2 + a +1) ≥ 0 và (b – 1)2 (b2 + b + 1) ≥ 0
Suy ra $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$ ≥ 0
mà a + b ≥ 2 nên 2 – a – b ≤ 0 . Do đó $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)\ge 0$
Vậy: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm
Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
Nhắc lại định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Dạng 5: Bài tập Hình tổng hợp
Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình