Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

A. Kiến thức cần nhớ

1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi)

Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)

Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên  của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy (Côsi).

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy

a. Dạng tổng quát

+ Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-1

b. Một số dạng đặc biệt

Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-2

3. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

+ $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy;\,\,\,2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}};\,\,\sqrt{2\left( x+y \right)}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$

+ $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy\ge \frac{3{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}$

+ $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx$

+ $ 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 3\left( xy+yz+zx \right)$

+ $ \displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{y}^{2}}\ge xyz\left( x+y+z \right)$ + $ 3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} \right)\ge {{\left( xy+yz+zx \right)}^{2}}\ge 3xyz\left( x+y+z \right)$

B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dạng được đề cập.

2. Bài tập sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Tin tức - Tags: , , ,