Lý thuyết Hoán vị – Chỉnh hợp và Tổ hợp
Lý thuyết Hoán vị – Chỉnh hợp và Tổ hợp bao gồm định nghĩa, định lí, các khái niệm về tổ hợp chập n của phần tử.
1. Khái niệm hoán vị
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n ≥ 1) được kí hiệu là $\displaystyle {{P}_{n}}$ và bằng:
$\displaystyle {{P}_{n}}$ =n(n-1)(n-2)…2.1=n!
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa chỉnh hợp: Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau (1 ≤ k ≤ n) của tập hợp n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý:
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Định lí:
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn và bằng
$\displaystyle A_{n}^{k}=n(n-1)…(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ với (1 ≤ k ≤ n),
Với quy ước 0! = 1.
3. Tổ hợp
Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử dã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).
Định lí:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ckn và bằng
$\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}$ , (0 ≤ k ≤ n).
Định lí:
Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n, ta có:
a) $\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
b) $\displaystyle C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ ( công thức Pascal).