Lượng giác hóa các bài toán đại số
Hôm nay Trung tâm Gia sư Hà Nội xin chia sẻ cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán. Đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số”.
Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán đại số và giải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị của hàm số chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểu thức đại số…
Lượng giác hóa là một phương pháp khá rộng. Với mỗi bài toán lại có một nét riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách giải nào là hiệu quả với toàn bộ các bài toán. Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng hàm số lượng giác để giải bài toán đại số là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với các yêu cầu và giả thiết của bài toán để đưa một đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình đại số hay hàm số đại số phức tạp về một biểu thức lượng giác tương đối đơn giản và từ đó sử dụng các công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán.
Cách lượng giác hóa các bài toán đại số
Thông thường để lượng giác hóa một bài toán đại số chúng ta cần làm 3 bước:
Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của bài toán bằng các giá trị lượng giác đó.
Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng.
Chẳng hạn
– Đặt x = sin α hoặc x = cos α; khi x ϵ [ -1;1] .
– Đặt x = tan α hoặc x = cot α; khi x ϵ R.
– Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta cũng có thể
chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức lượng giác đó.
Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán thì ta thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàm số lượng giác. Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học.
Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”.
Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài giải phương trình, bất phương trình) rồi kết luận bài toán.
Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác.
Đây là đề tài Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số của Cấn Duy Cát.
Đọc full đề tài ngay dưới đây: