Giải phương trình nghiệm nguyên bằng nguyên lý kẹp

Có những bài toán giải phương trình nghiệm nguyên khó nếu biết cách áp dụng nguyên lý kẹp vào giải thì mới giải quyết được.

Trước tiên các em cần nắm rõ cơ sở lý thuyết áp dụng trước khi ứng dụng vào giải.

Cơ sở lý thuyết nguyên lý kẹp

Cho $ \displaystyle x,y,n\in N$, khi đó ta có:

a) $ \displaystyle {x<y<x+2\Rightarrow y=x+1}$

b) $ \displaystyle {{{x}^{n}}<{{y}^{n}}<{{{(x+2)}}^{n}}\Rightarrow {{y}^{n}}={{{(x+1)}}^{n}}}$

c) $ \displaystyle {x(x+1)<y(y+1)<(x+2)(x+3)\Rightarrow y=x+1}$

Điều kiện để áp dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên là những phương trình nghiệm nguyên phải là đa biến và đồng bậc hoặc có thể đưa về đồng bậc.

Ví dụ áp dụng nguyên lý kẹp giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ \displaystyle {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=3{{y}^{2}}+1$ (1)

Giải:

PT (1) ⇔ $ \displaystyle {{x}^{4}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( {{{y}^{2}}} \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+1$

– Xét hiệu: $ \displaystyle {{x}^{4}}-{{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1-{{y}^{4}}-2{{y}^{2}}-1={{y}^{2}}\ge 0$ (2)

– Xét hiệu: $ \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+2} \right)}^{2}}-{{x}^{4}}={{y}^{4}}+4{{y}^{2}}+4-{{y}^{4}}-3{{y}^{2}}-1={{y}^{2}}+3>0$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $ \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}<{{x}^{4}}<{{(y+2)}^{2}}$ cộng với $ \displaystyle x,y\in Z$ ta được $ \displaystyle {{x}^{4}}={{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}$

Khi đó ta có phương trình: $ \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow {{y}^{4}}+2{{y}^{2}}+1={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=0$

Vậy nghiệm $ \displaystyle (x;y)$ của phương trình là: $ \displaystyle (1;0)$ và $ \displaystyle (-1;0)$

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ \displaystyle {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+y+10=0$ (1)

Giải:

Phương trình (1)

⇔ $ \displaystyle {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{y}^{2}}-y=y(y-1)>{{x}^{2}}\left( {{{x}^{2}}+1} \right)$ (1)

– Xét hiệu: $ \displaystyle \left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{2}}+4} \right)-y(y-1)=6{{x}^{2}}+2>0,\forall x\in Z$

⇒ $ \displaystyle {y(y-1)<\left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{{+4}}}} \right)}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ \displaystyle x\left( {{{x}^{2}}+1} \right)<y(y-1)<\left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{2}}+4} \right)$ kết hợp với $ \displaystyle x,y\in Z$ ta được:

$ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(y-1)y=\left( {{{x}^{2}}+2} \right)\left( {{{x}^{2}}+1} \right)} \\ {(y-1)y=\left( {{{x}^{2}}+2} \right)\left( {{{x}^{2}}+3} \right)} \end{array}} \right.$

⇔ $ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2} \\ {{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6} \end{array}} \right.$

⇔ $ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{{x}^{2}}=8} \\ {4{{x}^{2}}=4} \end{array}} \right.$

⇔ $ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\pm 2} \\ {x=\pm 1} \end{array}} \right.$

– Với $ \displaystyle x=\pm 2$ thì $ \displaystyle y=6$ hoặc $ \displaystyle y=-5$

– Với $ \displaystyle x=\pm 1$ thì $ \displaystyle y=4$ hoặc $ \displaystyle y=-3$

Vậy nghiệm $ \displaystyle (x;y)$  của phương trình (1) là: $ \displaystyle (\pm 2,6);(\pm 2,-5);(\pm 1,4);(\pm 1,-3)$

Tin tức - Tags: ,