Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên TP Hồ Chí Minh 2019-2020

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên, Sở giáo dục và đào tạo thành phố Hồ Chí Minh năm học 2019-2020. Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Môn thi Toán (chuyên vòng 2)

Câu 1. Cho phương trình $a x^{2}+b x+c=0$ (1) thỏa mãn các điều kiện: $a>0$ và $2 \sqrt{|a c|}<\sqrt{|b|}<a+c$

a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và

$\displaystyle {\left( {1-{{x}_{1}}} \right)\left( {1-{{x}_{2}}} \right)>0}$

và $\displaystyle {\left( {1+{{x}_{1}}} \right)\left( {1+{{x}_{2}}} \right)>0}$

b) Biết rằng $a>c .$ Chứng minh rằng $-1<x_{1}, x_{2}<1$

Câu 2.

a) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $2^{n}+1$ chia hết cho 9

b) Cho $n$ là só tụ nhiên $n>3$. Chứng minh rằng: $2^{n}+1$ không chia hết cho $2^{m}-1$ với moi số tự nhiên $m$ sao cho $2<m \leq n$

Câu 3. Cho $a, b$ là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện : $a^{4}-4 a=b^{4}-4 b$

a) Chứng minh rằng: 0 < $a+b<2$

b) Biết rằng: $a^{4}-4 a=b^{4}-4 b=k>0 .$ Chúng minh rằng: $-\sqrt{k}<a b<0$

Câu 4. Cho tam giác ABC có $A B<A C$. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài góc $B A C .$ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên $d_{1}, d_{2} .$ Goi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $d_{1}, d_{2}$

a) Chứng minh rằng MN, PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB, AC

b) Chứng minh rằng MN, PQ cắt nhau trên BC

c) Trên $d_{1}$ lấy các điểm $E, F$ sao cho $A B E=B C A$ và $A C F=C B A$. ($E$ E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{{BE}}{{CF}}=\frac{{AB}}{{AC}}$

d) Các đường thẳng BN ,CQ lần lượt cắt AC, AB tại hai điểm K, L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE, LF cắt nhau trên đường thẳng BC.

Câu 5. Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng 1 quốc gia.

a) Gọi $k$ là số quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng $\displaystyle n<\frac{{k+10}}{2}$

b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.

Đề thi Toán vào lớp 10 - Tags: , , ,