Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên Bắc Ninh năm 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014.

Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $ A=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}$ với $ x\ge 0,\,\,x\ne \,1$.
b) Cho $ x=\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right).\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}+3}$, tính giá trị của biểu thức $ P={{\left( {{x}^{2}}+4x-2 \right)}^{2013}}.$
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình: $ 2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0$ (1), với x là ẩn, m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}.$. Tìm m để $ \displaystyle 2{{x}_{1}}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0.$
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn $ x-y={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$. Chứng minh rằng $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1.$
b) Giải hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x={{y}^{2}}+1\\2y={{z}^{2}}+1\\2z={{x}^{2}}+1\end{array} \right..$
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) $ HA.HF={{R}^{2}}-O{{H}^{2}}.$
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $ \left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $ \frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ, đồng thời $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ là số nguyên tố.
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.

Đề thi Toán vào lớp 10 - Tags: ,