Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 27/3/2013.
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức:  A=(x−50−x+50)x+x2−50 với x≥50
b) Cho x+3=2. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: 4xx2−5x+6+3xx2−7x+6=6
b) Giải hệ phương trình sau: {x+y+4xy=16x+y=10
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a2+3ab−11b2 chia hết cho 5 thì a4−b4 chia hết cho 5.
b) Cho phương trình ax2+bx+1=0 với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết x=5−35+3 là nghiệm của phương trình.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho An=1(2n+1)2n−1 với n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A1 + A2 + A3 +…+ An < 1

Đề thi Toán 9 - Tags: , ,