Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 số 1 hay (có đáp án)
Thời gian làm bài 120 phút.
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức $ \displaystyle A=\frac{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-1}{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+2a+1}$
a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số $ \displaystyle \overline{abc}$ sao cho $ \displaystyle \overline{abc}={{n}^{2}}-1$ và $ \displaystyle \overline{cba}={{(n-2)}^{2}}$
Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm)
a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh $ \displaystyle \frac{a+n}{b+n}$ và $ \displaystyle \frac{a}{b}$
b. Cho A = $ \displaystyle \frac{{{10}^{11}}-1}{{{10}^{12}}-1}$; B = $ \displaystyle \frac{{{10}^{10}}+1}{{{10}^{11}}+1}$. So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ….., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
Đáp án Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 số 1:
Câu 1:
Ta có: $ \displaystyle A=\frac{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-1}{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+2a+1}$ = $ \displaystyle \frac{(a+1)({{a}^{2}}+a-1)}{(a+1)({{a}^{2}}+a+1)}=\frac{{{a}^{2}}+a-1}{{{a}^{2}}+a+1}$
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 (0,25đ).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] $ \displaystyle \vdots $ d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2:
$ \displaystyle \overline{abc}$ = 100a + 10 b + c = n2 – 1 (1)
$ \displaystyle \overline{cba}$ = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ⇒ 99(a – c) = 4 n – 5 ⇒ 4n – 5 $ \displaystyle \vdots $ 99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 ≤ n2-1 ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 119 (4) ( 0,25đ)
Từ (3) và (4) ⇒ 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26
Vậy: $ \displaystyle \overline{abc}$ = 675 ( 0,25đ)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a ∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006 ⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a, n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Câu 5: Lập dãy số .
Đặt
B1 = a1.
B2 = a1 + a2 .
B3 = a1 + a2 + a3
……………………………..
B10 = a1 + a2 + … + a10 .
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3…10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm).
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3…9}). Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ⇒ ĐPCM.
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng ⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ⇒ số giao điểm thực tế là:
(2005x 2006):2 = 1003 x 2005 = 2011015 giao điểm.
Đề thi - Tags: đề thi hsg, đề thi hsg 6Đề kiểm tra chất lượng kì II môn Toán 6 THPT chuyên Amsterdam năm 2017-2018
Đề thi HSG môn Toán 12 tỉnh Nam Định năm 2017-2018
Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá từ 2000 tới 2017
Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên
Đề thi HSG môn Toán 11 tỉnh Nghệ An năm 2017-2018
100 đề thi thử THPT quốc gia 2018 môn Toán – Trần Điệu Hoàng
Đề thi giáo viên dạy giỏi trường mầm non Sơn Lâm năm 2017 – 2018