Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán tỉnh Thanh Hóa 2017-2018

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018.

Bài 1. Cho dãy số: ${\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots }$ thỏa mãn: ${\displaystyle a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}\left(a_{2m}+a_{2n}\right)}$, với mọi số nguyên không âm m, n và m ≥ n. Nếu ${\displaystyle a_1=1}$, hãy xác định: ${\displaystyle a_{2017}}$.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ thỏa mãn: ${\displaystyle f(n^2)=f(n+m).f(n-m)+m^2,\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{R}}$.

Bài 3. Tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và P là điểm di động bên trong tam giác sao cho ${\displaystyle \widehat{BPC}=\widehat{BHC}}$. Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh rằng: trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) có các hệ số nguyên thỏa mãn ${\displaystyle P(2017)={1,3}^n-1}$ chia hết cho P(n) với mọi số nguyên dương n.

Bài 5. Chứng minh rằng: ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{2}^k{C}_n^k{C}_{n-k}^{\left[\frac{n-k}{2}\right]}=C_{2n+1}^n}$.

• Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán tỉnh Ninh Bình 2018-2019

• Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia tỉnh Phú Thọ 2018-2019

• Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 6 THCS Nguyễn Tất Thành 2018-2019

• 8 Đề thi tuyển sinh lớp 5 lên 6 môn Toán tham khảo

• Đề kiểm tra năng lực Toán, tiếng Việt lớp 4 lên 5

• Đề thi kiểm tra hè dành cho học sinh lớp 4 lên 5 Toán và tiếng Việt

• Đề thi, đáp án môn thi Giáo dục công dân THPT quốc gia 2018 mã đề 307