Dấu của tam thức bậc hai
Lý thuyết về dấu của tam thức bậc hai
1. Định nghĩa tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $\displaystyle f(x)=ax_{{}}^{2}+bx+c$ trong đó $\displaystyle x$ là biến a, b, c là các số đã cho, với a ≠ 0.
– Định lí thuận về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc hai $\displaystyle f(x)=ax_{{}}^{2}+bx+c$ (a ≠ 0)
có biệt thức $\displaystyle \Delta =b_{{}}^{2}-4ac$
– Nếu ∆ < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ∈ R
– Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x # $\displaystyle \frac{{-b}}{{2a}}$ hoặc a.f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R
– Nếu ∆ > 0 thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a.f(x)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x<{{x}_{1}}\\x>{{x}_{2}}\end{array} \right.\\a.f(x)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}\end{array} \right.$
– Định lí đảo về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc hai $\displaystyle f(x)=ax_{{}}^{2}+bx+c$ (a ≠ 0)
Nếu có số α thỏa mãn a.f(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và $\displaystyle {{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$
+ Hệ quả:
a.f(α) < 0 ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\{{x}_{1}}<a<{{x}_{2}}\end{array} \right.$
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\a.f(\alpha)>0\end{array} \right.$ ⇔ α ∉ [$\displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}$]
a.f(α) = 0 ⇔ α là nghiệm của f(x)
2. Khái niệm bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng:
$\displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c$ > 0, $\displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c$ < 0, $\displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c$ ≥ 0, $\displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c$ ≤ 0 trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.
Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn trên ta dùng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.