Dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết về dấu của tam thức bậc hai

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng ${\displaystyle f(x)=a{x}_{}^2+bx+c}$ trong đó ${\displaystyle x}$ là biến a, b, c là các số đã cho, với a ≠ 0.
– Định lí thuận về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc hai ${\displaystyle f(x)=a{x}_{}^2+bx+c}$ (a ≠ 0)
có biệt thức ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=b_{}^2-4ac}$
– Nếu ∆ < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ∈ R
– Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x # ${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$ hoặc a.f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R
– Nếu ∆ > 0 thì ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a.f(x)>0\iff [\begin{array}{c}x<x_1\\ x>x_2\end{array}\\ a.f(x)<0\iff x_1<x<x_2\end{array}}$
– Định lí đảo về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc hai ${\displaystyle f(x)=a{x}_{}^2+bx+c}$ (a ≠ 0)
Nếu có số α thỏa mãn a.f(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt ${\displaystyle x_1,x_2}$ và ${\displaystyle x_1<x<x_2}$
+ Hệ quả:
a.f(α) < 0 ⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ x_1<a<x_2\end{array}}$
${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ a.f(\alpha )>0\end{array}}$ ⇔ α ∉ [${\displaystyle x_1;x_2}$]
a.f(α) = 0 ⇔ α là nghiệm của f(x)

2. Khái niệm bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng:
${\displaystyle a{x}_{}^2+bx+c}$ > 0, ${\displaystyle a{x}_{}^2+bx+c}$ < 0, ${\displaystyle a{x}_{}^2+bx+c}$ ≥ 0, ${\displaystyle a{x}_{}^2+bx+c}$ ≤ 0 trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.
Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn trên ta dùng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.

• Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

• Dấu của nhị thức bậc nhất

• Lý thuyết phương sai và độ lệch chuẩn

• Lý thuyết về mệnh đề

• Khái niệm tập hợp, biểu đồ Ven

• Lý thuyết về các tập hợp số

• Lý thuyết về số gần đúng và sai số