Dạng bài tập: Tìm điều kiện chia hết – Số học 6
Dạng bài tập Tìm điều kiện chia hết cũng là một dạng toán khó trong chương trình Toán lớp 6 ở phần Số học. Vì vậy các em cần phải chăm chỉ luyện tập dạng này.
Các em xem những ví dụ dưới đây rồi tự làm các bài tập tương tự.
Ví dụ 1:Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n
Giải: Đặt tính chia:
Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)
Ta có:
| n | 1 | -1 | 2 | -2 |
| n-1 | 0 | -2 | 1 | -3 |
| n(n-1) | 0 | 2 | 2 | 6 |
| loại | loại |
Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 2:
Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
Giải: Ta có
n5 +1 chia hết cho n3 +1
⇔ n2 (n3+1) – (n2 -1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
⇔ (n-1)(n+1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
⇔ n -1 chia hết cho n2 -n +1 (vì n+1 0)
Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó không thể chia hết cho n2 – n +1.
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
Ví dụ 3:
Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1.
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
⇒ n -1 chia hết cho n2 -n +1
⇒ n(n-1) chia hết cho n2 -n +1
⇒ n2 -n chia hết cho n2 -n +1
⇒ (n2 -n +1) -1 chia hết cho n2 -n +1
⇒ 1 chia hết cho n2 -n +1
Có hai trường hợp
n2 -n +1 =1 ⇔ n( n -1) =0 ⇔ n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
n2 -n +1= -1 ⇔ n2 -n +2 =0 không tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 4:
Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho 7.
Giải:
Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì
2n -1= 23k+1 – 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì
2n -1= 23k+2 -1 =4(23k – 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2n -1 chia hết cho 7 n = 3k(k ∈ N).
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2 +3a +2 chia hết cho 3 ⇔ a2 +2 chia hết cho 3
⇔ a2 : 3 dư 1 ⇔ a không chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng là số nguyên tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại)
Còn 32 + 52 + 72 =83 là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên
a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số.
Giải:
Xét biểu thức
A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên
(a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2
là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3
Chia hết cho 6
Giải:
Ta có A=a3 + b3 + c3 – (a +b + c)
= (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c)
Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6
Nên A $ \displaystyle \vdots $ 6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6
Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có dạng như thế nào?
– HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 hoặc ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3
+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách nhẹ nhàng hơn
Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A= 13 + 23 + 33 +…+ 99 3 + 1003
B= 1 + 2 + 3+…+ 99 + 100.
+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào?
+ Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)
+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993 $ \displaystyle \vdots $ 50. 101
Bài 5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng
a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số
Giải:
Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k nguyên dương)
Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1
Thay vào a.b = c.d được
k.a1 .b = k .c1.d nên a1.b = c1. d
ta có a1.b c1 mà ( a1 , c1)=1
nên b c1 .Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) được
a1.c1.m = c1.d nên a1 .m = d
Do đó
A = a5 + b5 +c5 + d5
= k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5
= k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5)
= (a15 + c15)( k5 + m5).
Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a2 + b2 = c2 thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1)
Ta có 60 = 3. 4. 5
*Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1.
Khi đó
a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có một số chia hết cho 3.
*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5.
*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4
Khi đó a2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho 4.
Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60.