Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx +c = 0 

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0

II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b² – 4ac
*) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$
*) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: ${\displaystyle x_1=x_2=\frac{-b}{2a}}$
*) Nếu Δ < 0 phương trình vô nghiệm.

III. Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’
Δ’ = b’² – ac
*) Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:

*) Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: ${\displaystyle x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}}$
*) Nếu Δ’ < 0 phương trình vô nghiệm.

IV. Hệ thức Viet và ứng dụng

1. Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) thì: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}}$

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S² – 4P ≥ 0)

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=1;x_2=\frac{c}{a}}$

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}}$

V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

B. Một số bài tập có lời giải

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2x² -8 = 0
b) 3x² – 5x = 0
c) -2x² + 3x + 5 = 0
d) ${\displaystyle x^3+3x^2-2x-6=0}$
e) ${\displaystyle x^4+3x^2-4=0}$
f) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}}$
Giải
a) ${\displaystyle 2x^2-8=0\iff 2x^2=8\iff x^2=4\iff x=\pm 2}$
Vậy phương trình có nghiệm ${\displaystyle x=\pm 2}$
b) ${\displaystyle 3x^2-5x=0\iff x(3x-5)\iff [\begin{array}{l}x=0\\ 3x-5=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{5}{3}\end{array}}$
Vậy phương trình có nghiệm ${\displaystyle x=0;x=\frac{5}{3}}$
c) ${\displaystyle -2x^2+3x+5=0}$
⇔ ${\displaystyle 2x^2-3x-5=0}$
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a – b + c =  2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: ${\displaystyle x_1=-1;x_2=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}}$
d) ${\displaystyle x^3+3x^2-2x-6=0}$
⇔ ${\displaystyle (x^3+3x^2)-(2x+6)=0}$
⇔ ${\displaystyle x^2(x+3)-2(x+3)=0}$
⇔ ${\displaystyle (x+3)(x^2-2)=0}$
⇔ ${\displaystyle [\begin{array}{l}x+3=0\\ x^2-2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-3\\ x^2=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-3\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}}$
e) ${\displaystyle x^4+3x^2-4=0}$
Đặt ${\displaystyle t=x^2(t\ge 0)}$ . Ta có phương trình: ${\displaystyle t^2+3t-4=0}$
a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
=> phương trình có nghiệm: ${\displaystyle t_1=1>0}$ (thỏa mãn); ${\displaystyle t_2=-\frac{4}{1}=-4<0}$ (loại)
Với: ${\displaystyle t=1\iff x^2=1\iff x=\pm 1}$
Vậy phương trình có nghiệm ${\displaystyle x=\pm 1}$
f) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}}$
TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5
⇔ ${\displaystyle \frac{(x+2)(2-x)}{(x-5)(2-x)}+\frac{3(x-5)(2-x)}{(x-5)(2-x)}=\frac{6(x-5)}{(x-5)(2-x)}}$
⇒ ${\displaystyle (x+2)(2-x)+3(x-5)(2-x)=6(x-5)}$
⇔ ${\displaystyle 4-x^2+6x-3x^2-30+15x=6x-30}$
⇔ ${\displaystyle -4x^2+15x+4=0}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }={15}^2-4.(-4).4=225+64=289>0;\sqrt{\mathrm{\Delta }}=17}$
=> phương trình có hai nghiệm:
${\displaystyle x_1=\frac{-15+17}{2.(-4)}=-\frac{1}{4}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)
${\displaystyle x_2=\frac{-15-17}{2.(-4)}=4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : ${\displaystyle x^2+mx+m+3=0}$   (1)
a/ Giải phương trình với m = – 2.
b/ Gọi x₁; x₂ là các nghiệm của phương trình. Tính ${\displaystyle x_1^2+x_2^2;x_1^3+x_2^3}$ theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: ${\displaystyle x_1^2+x_2^2=9}$ .
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x₁ = – 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình:
${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2-2x+1=0\\ \iff {(x-1)}^2=0\\ \iff x-1=0\\ \iff x=1\end{array}}$
Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình: ${\displaystyle x^2+mx+m+3=0}$   (1)
Ta có: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12}$
Phương trình có nghiệm ${\displaystyle x_1;x_2\iff \mathrm{\Delta }\ge 0}$
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m(a)\\ x_1{x}_2=m+3(b)\end{array}}$
*) ${\displaystyle x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2={(-m)}^2-2(m+3)=m^2-2m-6}$
*) ${\displaystyle x_1^3+x_2^3={(x_1+x_2)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)={(-m)}^3-3(m+3)(-m)=-m^3+3m^2+9m}$
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm ${\displaystyle x_1;x_2\iff \mathrm{\Delta }\ge 0}$
Khi đó ${\displaystyle x_1^2+x_2^2=m^2-2m-6}$
Do đó ${\displaystyle x_1^2+x_2^2=9\iff m^2-2m-6=9\iff m^2-2m-15=0}$
Δ’_(m) = (-1)² – 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0
=> phương trình có hai nghiệm: ${\displaystyle m_1=\frac{1+4}{1}=5;m_2=\frac{1-4}{1}=-3}$
Thử lại :
+) Với ${\displaystyle m=5\Rightarrow \mathrm{\Delta }=-7<0}$  => loại.
+) Với ${\displaystyle m=-3\Rightarrow \mathrm{\Delta }=9>0}$  => thỏa mãn.
Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: ${\displaystyle x_1^2+x_2^2=9}$
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm ${\displaystyle x_1;x_2\iff \mathrm{\Delta }\ge 0}$
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m(a)\\ x_1{x}_2=m+3(b)\end{array}}$
Hệ thức: 2x₁ + 3x₂ = 5        (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình:
${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ 2x_1+3x_2=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x_1+3x_2=-3m\\ 2x_1+3x_2=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=-3m-5\\ x_2=-m-x_1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=-3m-5\\ x_2=2m+5\end{array}}$
Thay ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1=-3m-5\\ x_2=2m+5\end{array}}$ vào (b) ta có phương trình :
${\displaystyle (-3m-5)(2m+5)=m+3}$
${\displaystyle \iff -6m^2-15m-10m-25=m+3}$
${\displaystyle \iff -6m^2-26m-28=0}$
${\displaystyle \iff 3m^2+13m+14=0}$
${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{(m)}={13}^2-4.3.14=1>0}$
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${\displaystyle m_1=\frac{-13+1}{2.3}=-2}$ , ${\displaystyle m_2=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}}$
Thử lại :
+) Với ${\displaystyle m=-2\Rightarrow \mathrm{\Delta }=0}$  => thỏa mãn.
+) Với ${\displaystyle m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \mathrm{\Delta }=\frac{25}{9}>0}$ => thỏa mãn.
Vậy với ${\displaystyle m=-2;m=-\frac{7}{3}}$ phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm ${\displaystyle x_1=-3}$
⇔ ${\displaystyle {(-3)}^2+m.(-3)+m+3=0\iff -2m+12=0\iff m=6}$
Khi đó: ${\displaystyle x_1+x_2=-m\iff x_2=-m-x_1\iff x_2=-6-(-3)\iff x_2=-3}$
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x₁ = x₂ = – 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  ${\displaystyle \iff ac<0\iff 1.(m+3)<0\iff m+3<0\iff m<-3}$
Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1{x}_2=m+3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=-x_1-x_2\\ m=x_1{x}_2-3\end{array}\iff -x_1-x_2=x_1{x}_2-3}$
Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂  không phụ thuộc vào m là: x₁.x₂ + (x₁ + x₂ ) – 3 = 0
Bài 3:  Cho phương trình  (m-1)x² + 2x – 3 = 0   (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 ⇔ ${\displaystyle x=\frac{3}{2}}$ (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ^’=1²– (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ Δ^’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ ${\displaystyle m\ge \frac{2}{3}}$
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với ${\displaystyle m\ge \frac{2}{3}}$ thì phương trình có nghiệm
b)
+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 ⇔ ${\displaystyle x=\frac{3}{2}}$ (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ^’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ Δ^’ = 3m-2 = 0 ⇔ ${\displaystyle m=\frac{2}{3}}$ (thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó ${\displaystyle x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3}$
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất ${\displaystyle x=\frac{3}{2}}$
với ${\displaystyle m=\frac{2}{3}}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x₁ = 2 nên ta có:
(m-1)2² + 2.2 – 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ ${\displaystyle m=\frac{3}{4}}$  Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do ${\displaystyle m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0}$)
Theo đinh lí Viet ta có:  x₁.x₂ = ${\displaystyle \frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12}$
⇒ x₂ = 6
Vậy ${\displaystyle m=\frac{3}{4}}$ và nghiệm còn lại là x₂ = 6
Bài 4:    Cho phương trình:  x² -2(m-1)x  – 3 – m = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x₁, x₂ với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x₁, x₂ của phương trình thoả mãn x₁²+x₂²
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x₁ qua x₂
Bài 5:   Cho phương trình:  x² + 2x + m-1= 0  ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn 3x₁+2x₂ = 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ${\displaystyle y_1=x_1+\frac{1}{x_2};y_2=x_2+\frac{1}{x_1}}$ ; với x₁; x₂ là nghiệm của phương trình ở trên

• Chuyên đề hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b ôn thi vào lớp 10