Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0() ,(a0), Δ=b24ac .
Gọi S, P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm x1, x2. Hệ thức Viét: {S=x1+x2=baP=x1x2=ca .

2. Các hệ thức thường gặp:
+ x12+x22=(x12+2x1.x2+x22)2x1.x2=(x1+x2)22x1.x2=S22P
+ x1x2=±(x1+x2)24x1x2=±S24P
+ x2x1=±(x1+x2)24x1x2=±S24P
x12x22=(x1+x2)(x1x2)=±(x1+x2)(x1+x2)24x1x2=±S.S24P
x13+x23=(x1+x2)(x12x1.x2+x22)=(x1+x2)[(x1+x2)23x1.x2]=S.(S23P)
x14+x24=(x12)2+(x22)2=(x12+x22)22x12.x22=[(x1+x2)22x1x2]22x12x22
=(S22P)22P2
1x1+1x2=x1+x2x1x2=SP
1x11x2=x2x1x1x2=±(x1+x2)24x1x2x1x2=±S24PP
x1x2x2x1=x12x22x1x2=(x1+x2)(x1x2)x1x2=±(x1+x2)(x1+x2)24x1x2x1x2=±S.S24PP
x13x23=(x1x2)(x12+x1.x2+x22)=(x1x2)[(x1+x2)2x1.x2]
=(±(x1+x2)24x1x2)[(x1+x2)2x1.x2]=±(S24P)[S2P]
x14x24=(x12)2(x22)2=(x12+x22)(x12x22)=±(S22P)(S.S24P)
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: Cho phương trình (2m1)x22mx+1=0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).
Lời giải

Δ=m2(2m1)=m22m+1=(m1)20 mọi m.
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.
Ta thấy nghiệm x=1 không thuộc khoảng (1;0)
Với m12 phương trình còn có nghiệm là x=mm+12m1=12m1
Phương trình có nghiệm trong khoảng (1;0) suy ra
112m10{12m1+1>02m1<0{2m2m1>02m1<0m<0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (1;0) khi và chỉ khi m<0.
Câu 2: Cho phương trình x2(2m1)x+m21=0 (x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn: (x1x2)2=x13x2.
Lời giải
a) Δ=(2m1)24.(m21)=54m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt m<54
b) Phương trình có hai nghiệm m<54
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: {x1+x2=2m1x1x2=m21
Theo đề bài:
(x1x2)2=x13x2(x1+x2)24x1x2=x13x2(2m1)24(m21)=x13x2x13x2=54m
Ta có hệ phương trình: {x1+x2=2m1x13x2=54m{x1=m+12x2=3(m1)2
m+123(m1)2=m213(m21)=4(m21)m21=0m=±1
Kết hợp với điều kiện m=±1 là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm m để phương trình x2+5x+3m1=0 (x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13x23+3x1x2=75.
Lời giải
Δ=524.1.(3m1)=2912m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ0m2912
Áp dụng hệ thức Vi-ét {x1+x2=5x1x2=3m1
Ta có: x13x23+3x1x2=75
(x1x2)((x1+x2)2x1x2)+3x1x2=75
⇒ (x1x2)(25x1x2)+3x1x2=75
⇔ 25(x1x2)(x1x2)x1x2+3x1x2=75
⇒ x1x2=3
Kết hợp x1+x2=5 suy ra x1=1;x2=4. Thay vào x1x2=3m1 suy ra m=53
Vậy m=53 là giá trị cần tìm.
Câu 4: Cho phương trình x210mx+9m=0 (m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m=1.
b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện x19x2=0.
Lời giải
a) Với m=1 phương trình đã cho trở thành x210x+9=0
Ta có a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là [x1=1x2=9
b) Δ=(5m)21.9m=25m29m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ>025m29m>0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
{x1+x2=10mx19x2=0x1x2=9m{10x2=10mx1=9x2x1x2=9m{x2=mx1=9m9m29m=0{x2=mx1=9m[m=0m=1,()m=1

Ôn thi Toán vào lớp 10 - Tags: , , , ,