Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ }\text{,}\left( a\ne 0 \right),\text{ }\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .
Gọi $ \displaystyle S$, $ \displaystyle P$ lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$. Hệ thức Viét: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.$ .

2. Các hệ thức thường gặp:
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}$
+ $ \displaystyle {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\pm \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=S.\left( {{S}^{2}}-3P \right)$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
$ \displaystyle ={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}$
+ $ \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S}{P}$
+ $ \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}$
+ $ \displaystyle \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]$
$ \displaystyle =\left( \pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=\pm \left( \sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\left[ {{S}^{2}}-P \right]$
+ $ \displaystyle {{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}=\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)=\pm \left( {{S}^{2}}-2P \right)\left( S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)$
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: Cho phương trình $ \left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).
Lời giải

$ \Delta ‘={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ mọi m.
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.
Ta thấy nghiệm $ x=1$ không thuộc khoảng $ \left( -1;0 \right)$
Với $ m\ne \frac{1}{2}$ phương trình còn có nghiệm là $ x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}$
Phương trình có nghiệm trong khoảng $ \left( -1;0 \right)$ suy ra
$ -1\le \frac{1}{2m-1}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2m-1}+1>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2m}{2m-1}>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Rightarrow m<0$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $ \left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $ m<0$.
Câu 2: Cho phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0$ ($ \displaystyle x$ là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định $ \displaystyle m$ để hai nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}$ của phương trình đã cho thỏa mãn: $ {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.
Lời giải
a) $ \Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=5-4m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$
b) Phương trình có hai nghiệm $ \Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1\end{array} \right.$
Theo đề bài:
$ \begin{array}{l}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array}$
Ta có hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}\\{{x}_{2}}=\frac{3(m-1)}{2}\end{array} \right.$
$ \begin{array}{l}\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\\\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)\\\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\\\Leftrightarrow m=\pm 1\end{array}$
Kết hợp với điều kiện $ \Rightarrow m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm m để phương trình $ {{x}^{2}}+5x+3m-1=0$ ($ \displaystyle x$ là ẩn số, $ m$ là tham số) có hai nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}$ thỏa mãn $ x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$.
Lời giải
$ \displaystyle \Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \displaystyle \Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\end{array} \right.$
Ta có: $ x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
⇔ $ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
⇒ $ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
⇔ $ 25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
⇒ $ {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3$
Kết hợp $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra $ {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4$. Thay vào $ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1$ suy ra $ m=\frac{5}{3}$
Vậy $ m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.
Câu 4: Cho phương trình $ {{x}^{2}}-10mx+9m=0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với $ m=1$.
b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}$ thỏa điều kiện $ {{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0$.
Lời giải
a) Với $ m=1$ phương trình đã cho trở thành $ {{x}^{2}}-10x+9=0$
Ta có $ a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $ \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$
b) $ \Delta ‘={{\left( -5m \right)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m$
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $ \Delta ‘>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$ \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}=9{{x}_{2}}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\9{{m}^{2}}-9m=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*)\Rightarrow m=1$

Ôn thi Toán vào lớp 10 - Tags: , , , ,