Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng

Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một dạng bài tập xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào 10 các trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia ra làm 2 dạng là loại 1 và loại 2.

Dưới đây là lý thuyết và bài tập về chuyên đề này.

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
– Phương trình ${\displaystyle n}$ ẩn ${\displaystyle x_1,x_2,\dots ,x_n}$ gọi là đối xứng với ${\displaystyle n}$ ẩn nếu thay ${\displaystyle x_i}$ bởi ${\displaystyle x_j;x_j}$ bởi ${\displaystyle x_i}$ thì phương trình không thay đổi.
– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
${\displaystyle x_1+x_2+\dots +x_n}$
${\displaystyle x_1{x}_2+x_1{x}_3+\dots +x_1{x}_n+x_2{x}_1+x_2{x}_3+\dots +x_{n-1}{x}_n}$
………………………….
${\displaystyle x_1{x}_2\dots x_n}$
– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức ${\displaystyle F\left(x\right)=a_0{x}^n+a_1{x^n}^{-1}+\dots a_n,a_0\ne 0,a_i\in P}$ có nghiệm trên ${\displaystyle P}$ là ${\displaystyle c_1,\dots ,c_n}$ thì:
${\displaystyle \{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+\dots +c_n=-\frac{a_1}{a_0}\\ c_1{c}_2+c_1{c}_3+\dots +c_1{c}_n+c_2{c}_1+c_2{c}_3+\dots +c_{n-1}{c}_n=\frac{a_2}{a_0}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .\\ c_1{c}_1\dots c_n={(-1)}^n.\frac{a_n}{a_0}\end{array}}$
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì:
${\displaystyle \{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}}$
Ngược lại, nếu 2 số x₁, x₂  có ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=S\\ x_1.x_2=P\end{array}}$ thì ${\displaystyle x_1,x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\displaystyle X^2-SX+P=0.}$
2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng
${\displaystyle \{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}}$, trong đó $\{\begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\ g(x,y)=g(y,x)\end{array}$.
3. Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và $S^2\ge 4P$.
Bước 3: Thay ${\displaystyle x,y}$ bởi ${\displaystyle S,P}$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm ${\displaystyle S,P}$ rồi dùng Viét đảo tìm ${\displaystyle x,y}$.
Chú ý:
+ Cần nhớ: ${\displaystyle x^2+y^2=S^{2}2P,x^3+y^3=S^{3}3SP.}$
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ ${\displaystyle u=u\left(x\right),v=v\left(x\right)}$ và ${\displaystyle S=u+v,P=uv.}$
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^{2}y+x{y}^2=30\\ x^3+y^3=35\end{array}$.
GIẢI
Đặt $\text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện $S^2\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$\{\begin{array}{l}SP=30\\ S(S^2-3P)=35\end{array}\iff \{\begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\ S(S^2-\frac{90}{S})=35\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}S=5\\ P=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\ x^3-y^3=2\end{array}$.
GIẢI
Đặt $t=-y,S=x+t,P=xt$, điều kiện $S^2\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$\{\begin{array}{l}xt(x+t)=2\\ x^3+t^3=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}SP=2\\ S^3-3SP=2\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}S=2\\ P=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ t=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\end{array}$.
GIẢI
Điều kiện $x\ne 0,y\ne 0$.
Hệ phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=4\\ {(x+\frac{1}{x})}^2+{(y+\frac{1}{y})}^2=8\end{array}$
Đặt $S=(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}),P=(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y}),S^2\ge 4P$ ta có:
$\{\begin{array}{l}S=4\\ S^2-2P=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}S=4\\ P=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=4\\ (x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})=4\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\ y+\frac{1}{y}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}(1)\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4(2)\end{array}$.
GIẢI
Điều kiện $x,y\ge 0$. Đặt $t=\sqrt{xy}\ge 0$, ta có:
$xy=t^2$ và $(2)\Rightarrow x+y=16-2t$.
Thế vào (1), ta được: $\sqrt{t^2-32t+128}=8-t\iff t=4$
Suy ra: $\{\begin{array}{l}xy=16\\ x+y=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}$
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt ${\displaystyle S=x+y,P=xy}$ với điều kiện của ${\displaystyle S,P}$ và (*)
+ Bước 3: Thay ${\displaystyle x,y}$ bởi ${\displaystyle S,P}$ vào hệ phương trình.
Giải hệ tìm ${\displaystyle S,P}$ theo ${\displaystyle m}$ rồi từ điều kiện (*) tìm ${\displaystyle m}$.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ ${\displaystyle u=u\left(x\right),v=v\left(x\right)}$ và ${\displaystyle S=u+v,P=uv}$ thì nhớ tìm chính xác điều kiện của ${\displaystyle u,v}$.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
$\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array}$
GIẢI
Điều kiện $x,y\ge 0$ ta có:
$\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ {(\sqrt{x})}^3+{(\sqrt{y})}^3=1-3m\end{array}$
Đặt $S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge 0,P=\sqrt{xy}\ge 0$, $S^2\ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành:
$\{\begin{array}{l}S=1\\ S^3-3SP=1-3m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}S=1\\ P=m\end{array}$.
Từ điều kiện $S\ge 0,P\ge 0,S^2\ge 4P$ ta có $0\le m\le \frac{1}{4}$.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện ${\displaystyle m}$ để hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y+xy=m\\ x^{2}y+x{y}^2=3m-9\end{array}$ có nghiệm thực.
GIẢI
$\{\begin{array}{l}x+y+xy=m\\ x^{2}y+x{y}^2=3m-9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(x+y)+xy=m\\ xy(x+y)=3m-9\end{array}$.
Đặt ${\displaystyle S=x+y,P=xy,}$ Hệ phương trình trở thành: $\{\begin{array}{l}S+P=m\\ SP=3m-9\end{array}$.
Suy ra ${\displaystyle S}$ và ${\displaystyle P}$ là nghiệm của phương trình $t^2-mt+3m-9=0$.
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}S=3\\ P=m-3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}S=m-3\\ P=3\end{array}$
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm $\iff [\begin{array}{l}{3}^2\ge 4(m-3)\\ {(m-3)}^2\ge 12\end{array}\iff m\le \frac{21}{4}\vee m\ge 3+2\sqrt{3}$.
Loại  3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\displaystyle \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}=\frac{3}{2}}$.
GIẢI
Đặt: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x}=u\\ \sqrt[3]{1-x}=v\end{array}}$ . Vậy ta có hệ: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\ u^3+v^3=1\end{array}}$
⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\ (u+v)[{(u+v)}^2-3uv]=1\end{array}}$
⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\ u.v=\frac{19}{36}\end{array}}$
u, v là hai nghiệm của phương trình: ${\displaystyle X^2-\frac{3}{2}X+\frac{19}{36}=0}$
⇒ ${\displaystyle [\begin{array}{l}u=\frac{9+\sqrt{5}}{12}\\ u=\frac{9-\sqrt{5}}{12}\end{array}}$ ⇒ ${\displaystyle [\begin{array}{l}x={\left(\frac{9+\sqrt{5}}{12}\right)}^3\\ x={\left(\frac{9-\sqrt{5}}{12}\right)}^3\end{array}}$
Vậy phương trình có hai nghiệm: ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ = ${\displaystyle \{{\left(\frac{9+\sqrt{5}}{12}\right)}^3;{\left(\frac{9-\sqrt{5}}{12}\right)}^3\}}$.

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 HAI ẨN

A. Định nghĩa:
${\displaystyle \{\begin{array}{l}f(x,y)=0\left(1\right)\\ f(y,x)=0\left(2\right)\end{array}}$
Cách giải: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: ${\displaystyle (x-y)g(x,y)=0}$.
Khi đó ${\displaystyle x-y=0}$ hoặc ${\displaystyle g(x,y)=0.}$
+ Trường hợp 1: ${\displaystyle x-y=0}$ kết hợp với phương trình  hoặc  suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: ${\displaystyle g(x,y)=0}$ kết hợp với phương trình  suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^3=3x+8y\left(1\right)\\ y^3=3y+8x\left(2\right)\end{array}}$ (I)
GIẢI
Lấy (1) – (2) ta được: ${\displaystyle \text{(x – y)(}{\text{x}}^{\text{2}}\text{ + xy + }{\text{y}}^{\text{2}}\text{ + 5) = 0}}$
Trường hợp 1: (I) ${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}{x}^3=3x+8y\\ x=y\end{array}}$
⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^3-11x=0\\ x=y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{11}\end{array}\\ x=y\end{array}}$.
Trường hợp 2: (I) ${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2+5=0\\ x^3+y^3=11(x+y)\end{array}}$ (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
${\displaystyle \left\{\text{(x}\text{, y)}\right\}\text{=}\left\{\text{(0}\text{,0); (}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{); (-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{)}\right\}}$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\ y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array}}$
GIẢI
Đặt: ${\displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}}$
Hệ phương trình trở thành:
${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}^4+1+v=1\\ v^4+1+u=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}^4+v=0\\ v^4+u=0\end{array}}$
⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}u=0\\ v=0\end{array}}$
(Do u, v ≥ 0) ${\displaystyle \Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{x = 1}\\ \text{y = 1}\end{array}}$.
Vậy hệ có nghiệm (1,1)

• Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

• Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

• Chuyên đề: Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

• Dạng toán: Rút gọn biểu thức chứa số

• Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình vào lớp 10 năm 2017

• Một số bài tập toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10 năm học 2018-2019

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số