Chuyên đề Hàm số lượng giác – Toán lớp 10

Chuyên đề Hàm số lượng giác lớp 10 bao gồm kiến thức lý thuyết lượng giác cần nhớ và các bài tập tự giải.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Các hằng đẳng thức cơ bản

a) ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

b) $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

c) $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

d) $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

e) $1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ f) $\tan x.\cot x=1$

2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt

a) Hai cung đối nhau

$\begin{array}{l}\cos (-x)=\cos x\\ \sin (-x)=-\sin x\\ \tan (-x)=-\tan x\\ \cot (-x)=-\cot x\end{array}$

b) Hai cung bù nhau

$\begin{array}{l}\sin (\pi -x)=\sin x\\ \cos (\pi -x)=-\cos x\\ \tan (\pi -x)=-\tan x\\ \cot (\pi -x)=-\cot x\end{array}$

c) Hai cung khác nhau

$\begin{array}{l}\sin (x+2\pi )=\sin x\\ \cos (x+2\pi )=\cos x\\ \tan (x+2\pi )=\tan x\\ \cot (x+2\pi )=\cot x\end{array}$

d) Hai cung khác nhau

$\begin{array}{l}\sin (\pi +x)=-\sin x\\ \cos (\pi +x)=-\cos x\\ \tan (\pi +x)=\tan x\\ \cot (\pi +x)=\cot x\end{array}$

e) Hai cung phụ nhau

$\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x;\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x\text{ ; }\cot \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\tan x\end{array}$

B. Bài tập

1. Tìm các giá trị của $\alpha$để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

$A=\frac{1}{1+\sin \alpha }\text{ ; }B=\frac{1}{1-\cos \alpha }$

2. Xét dấu của các biểu thức sau:

a) $\sin {123}^o-\sin {132}^o$

b) $\cot {304}^o-\cot {316}^o$

3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $5\tan {540}^o+2\cos {1170}^o+4\sin {990}^o-3\cos {540}^o$

b) $3\sin \frac{25\pi }{6}-3\tan \frac{13\pi }{4}+2\cos \frac{19\pi }{3}$

c) ${\sin }^2{15}^o+{\sin }^2{35}^o+{\sin }^2{55}^o+{\sin }^2{75}^o$

d) ${\cos }^2{15}^o+{\cos }^2{35}^o+{\cos }^2{55}^o+{\cos }^2{75}^o$

e) ${\sin }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{3\pi }{12}+{\sin }^2\frac{5\pi }{12}+{\sin }^2\frac{7\pi }{12}+{\sin }^2\frac{9\pi }{12}+{\sin }^2\frac{11\pi }{12}$

f) ${\cos }^2\frac{\pi }{12}+{\cos }^2\frac{3\pi }{12}+{\cos }^2\frac{5\pi }{12}+{\cos }^2\frac{7\pi }{12}+{\cos }^2\frac{9\pi }{12}+{\cos }^2\frac{11\pi }{12}$

g) $\sin (\pi +a)-\cos \left(\frac{\pi }{2}+a\right)+\cot (2\pi -a)+\tan \left(\frac{3\pi }{2}+a\right)$

h) $A={\sin }^{4}a+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a.{\cos }^{2}a$

i) $B=\frac{{\left(\sin \frac{a}{2}+\cos \frac{a}{2}\right)}^2-1}{\tan \frac{a}{2}-\sin \frac{a}{2}.\cos \frac{a}{2}}$

j) $C=\frac{{\cos }^2{696}^o+\tan (-{260}^o).\tan {530}^o-{\cos }^{2}156}{{\tan }^2{252}^o+{\cot }^2{342}^o}$

k) ${\left[\tan \frac{17\pi }{4}+\tan \left(\frac{7\pi }{2}-b\right)\right]}^2+{\left[\cot \frac{13\pi }{4}+\cot \left(7\pi -b\right)\right]}^2$

l) $\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}-\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right)\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}-\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\right)$

m) ${\sin }^{3}a(1+\cot a)+{\cos }^{3}a(1+\tan a)$

n) $\frac{\tan b}{\tan b+\cot b}$

o) $\frac{1-{\cos }^{4}a-{\sin }^{4}a}{{\cos }^{4}a}$

p) $\frac{\sin (x-\pi ).\cos (x-2\pi ).\sin (2\pi -x)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right).\cot (\pi -x).\cot \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)}$

q) ${\left[\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin (\pi -x)\right]}^2+{\left[\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)+\cos (2\pi -x)\right]}^2$

r) $\sin \left(\frac{\pi }{3}-a\right).\tan \left(\frac{2\pi }{3}+a\right).\cos \left(\frac{5\pi }{3}+a\right)+\tan (\pi +a).\tan \left(\frac{3\pi }{2}-a\right)$

s) $\frac{\cot (5,5\pi -a)+\tan (b-4\pi )}{\cot (a-6\pi )-\tan (b-3,5\pi )}$

t) $\tan {50}^o.\tan {190}^o.\tan {250}^o.\tan {260}^o.\tan {400}^o.\tan {700}^o$

4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin (A+B)=\sin C\text{; cos(B}+\text{C)}=\text{-cosA}$ c) $\tan (A+C)=-\tan B;\text{ cot(A}+\text{B)}=\text{-cotC}$

b) $\text{sin}\frac{\text{A}+\text{B}}{\text{2}}=\cos \frac{C}{2}\text{; cos}\frac{\text{B}+\text{C}}{\text{2}}=\sin \frac{A}{2}$ d) $\tan \frac{A+C}{2}=\cot \frac{B}{2};\text{ cot}\frac{\text{A}+\text{B}}{\text{2}}=\tan \frac{C}{2}$

5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\frac{2+\cos x}{\sin x+\cos x-2}$

6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng $-\pi <x<\pi$: $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$.

7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.

a) Cho ${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2{\sin }^{2}A$. Chứng minh $\text{A}\le {60}^o$.

b) $2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)=a+b+c\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ đều.

c) Chứng minh: $0<\sin A+\sin B+\sin \text{C-sinA}\text{.sinB-sinB}\text{.sinC-sinC}\text{.sinA}<\text{1}$

• Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy lớp 10

• Bài tập trắc nghiệm Số gần đúng và Sai số – Đại số 10

• Bài tập trắc nghiệm Mệnh đề và suy luận toán học – Đại số 10

• Ôn tập học kì 1 Toán 10: Đại số và Hình học

• Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán lớp 10 THPT Chu Văn An năm 2017 – 2018

• Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ

• Cách chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định bằng vectơ