Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm
Bằng phương pháp làm trội, làm giảm chúng ta có thể chứng minh được một số dạng bài tập bất đẳng thức. Các em xem ví dụ dưới đây để rõ về phương pháp này.
Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$
Giải
Ta có : $ \displaystyle \frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}$ ; $ \displaystyle \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}$ ; $ \displaystyle \frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}$
Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
⇔ $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Ta lại có: $ \displaystyle \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}$ (điều này dễ chứng minh được)
Tương tự:
$ \displaystyle \frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c}$ ;
$ \displaystyle \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}$
Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}$ = 2
⇔ $ \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$
Vậy: $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:
$ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1$
Giải
Ta có : $ \displaystyle \frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
Nên:
$ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ;
$ \displaystyle \frac{1}{{{3}^{2}}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
……..
$ \displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
Suy ra: $ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1-\frac{1}{n}$ <1
Vậy: $ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1$
Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
Nhắc lại định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Dạng 5: Bài tập Hình tổng hợp
Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Dạng 3: Phương trình và hệ phương trình